Pascals trekant

Ved du ikke engang det hehe. Det er nemt !

Abstraction er du ikke lidt fra den nu? ;)

Du virker ikke skarp Daniel. Du bliver først lykkelig den dag "opmærksomhed" ikke er essensen af din glæde.

#0 Jeg kender en, som kan løse den slags meningsløse problemer :P 

Det vil sikkert glæde ham...

Hver række repræsenterer kongruensrelationerne 1x1, hvor x er antallet af 0'er.

Fx kan de første 5 rækker i Pascal's trekant skriver som 11^n, hvor n ligger i [0,5].

Spørgsmålet er så om man overhovedet skal bruge det til noget :)

Jeg skal lige tænke mere over det. Jeg glæder mig til at se løsningen, hvis den overhovedet findes.

#3 Det er ikke et meningsløst problem ! :)

#4 Jo det er :P

Proportionaliteten af lige værdier i Pascals trekant må være 1 når antallet af rækker i trekanten går mod uendelig. Det er faktisk et matematisk paradoks.

#6 Proportionaliteten af alle lige værdier er ikke 1 ?

#0 Dit indlæg hører under "Matematik" ikke "Debat". Hvorfor skifter du ikke billede? Du ligner en masse- morder

#8 Folk har lov at bruge det billed de nu engang har lyst til. Du behøver jo ikke at se på det :)

det er bare lidt freaky..

Muligvis, men det ligner altså en person fra et eller andet band. Jeg kommenterer heller ikke dit billed, selvom jeg synes det er upassende på en lektieportal.

Brøken for, hvor mange ulige tal, der er i de første 2^n rækker af Pascals trekant, hvor man tæller række nul med, er 2*3^n/[2^n(2^n+1)]. Derfor har #6 (-Zeta-) ganske ret - der er relativt set ingen ulige tal i Pascals trekant, når hele trekanten tages i betragtning. Tælleren er noget med 3^n og nævneren er ved nærmere eftersyn noget med 4^n som dominerende led...

Lad p_n repræsentere procentdelen af tal i de første n rækker af Pascals trekant, som er ulige.

Vi starter med at se på Pascals trekant modulo 2. Heraf kan vi danne en trekant, hvor den indre n'te trekants hjørner rammer midten af den (n-1)'te trekants sider. Vi kan dermed opstille en rekursiv ligning.

a_n = 3a_n-1 + (2^n-1-1)(2^n-2) = 3a_n-1 + 2^2n-3 - 2^n-2.

Løsningen til den homogene ligning er a_n^(h) = b3ⁿ. Løsningen til den inhomogene del er

p(n) = g*2^2n-3 - f*2^n-2. Lad p(n) substituere a_n således

g*2^2n-3 - f*2^n-2 = 3[g*2^2n-3 - f*2^(n-1)-2] + 2^2n-3 - 2^n-2.

g*2ⁿ - 2ⁿ⁺² + f*2² + 2³ = 2ⁿ(g-2²) + 2²(f+2) = 0.

Da er g=4 og f=-2. Løsningen til den inhomogene ligning er

a_n^(nh) = (4)2^2n-3 - (-2)2^n-2 = 2^2n-1 + 2^n-1.

a_n = a_n^(h) + a_n^(nh) = b3ⁿ + 2^2n-1 + 2^n-1. Vi benytter her, at a₁=0 og b=-1, fordi vi vil have den partikulære løsning a_n=2^2n-1 + 2^n-1 - 3ⁿ. 

Vi leder efter forholdet #ulige tal / #alle tal, og pr. induktion har vi 1+ 2 + ... + n = n(n+1)/2. Bemærk at vi har 2^n rækker og ikke n rækker. Vi subtraherer det fra 1, da vi ønsker den givne proportion.  

p_(2ⁿ) = 1 - (2^2n-1 + 2^n-1 - 3ⁿ) / (2ⁿ(2ⁿ+1)/2)

= 1 - (2²ⁿ + 2ⁿ - 2*3ⁿ) / (2²ⁿ+2ⁿ)

= 1 - (2²ⁿ + 2ⁿ) / (2²ⁿ+2ⁿ) + (2*3ⁿ) / (2²ⁿ+2ⁿ)

= 1 - 1 + 2*3ⁿ/ (2²ⁿ+2ⁿ) = 2*3ⁿ/ (2²ⁿ+2ⁿ)

Nu skal vi blot finde grænseværdien p_(2ⁿ)  for n -> oo. Vi har, at p_(2ⁿ) <= 2* 3ⁿ/2^2n.

lim_n->oop_(2ⁿ) <= lim_n->oo 2* 3ⁿ/2²ⁿ = 2 * lim_n->oo3ⁿ/4ⁿ = 2*0 = 0.

Heraf ser vi, at de lige tal dominerer de ulige tal. Trekanten modulo 2 er virtuelt alle 0'er.

I kan se trekanten her.

http://peecee.dk/upload/view/126261
 

Det var en god opgave. Det kan være, at du vil fortælle lidt om dig selv Abstraction?

#13 Det ser interessant ud - gider du uddybe notationen lidt?

#13 Du gør mig svimmel med al den matematik :P

#10 Hvis jeg virkelig var en massemorder, ville du være mit første offer ;)

#14 Hvad vil du vide? Jeg er god til matematik, fysik og musik. Din løsning ser rigtig ud. Jeg havde samme tanke om trekanten, som du viser i dit link. Jeg skal lige tygge lidt på det, du har skrevet..

#16 Du er glad i dag :)

#15 "a_n"'s betydning kan du regne ud, hvis du ser på tegningen. Så giver den rekursive ligning mening.

f og g spurgte du om, men det er jo løsningerne til den inhomogene ligning, som jeg har skrevet. p_(2ⁿ) angiver den del, som består af ulige tal (p_(2^oo) = 0).

#17 Det var en interessant opgave. Jeg går ud fra, at du er universitetsstuderende. I øvrigt ved jeg godt, hvem du vil forestille ;)

#13 Det er typisk dig! :)