BEVIS

Er der nogen der kan lave et bevis for denne sætning:Et n-tegradspolynomium har højt n rødder.
 

Bevis: vi vil bevise sætningen ved induktion
Vi skal først bevise at sætningen er sand for n = 0
Et nultegradspolynomium er en funktion af formen: f(x) = a0
Hvor a0 er et tal der ikke er nul. Et sådant polynomium har ingen rødder. Derfor er sætningen sand for n= 0.
Så skal vi bevise induktionstrinnet.
Antag at sætningen er sand for n-1, hvor n ≥ 1. Vi skal så bevise at den er sand for n.
Betragt et polynomium f(x) af grad n, hvor n er mindst 1.
Hvis f(x) ikke har nogen rødder, har vi vist det ønskede.
Hvis f(x) har mindst en rod, vil vi kalde en rod for a. Vi ved allerede at division med (x-a) går op, så f(x) kan skrives: f(x) = (x-a) * q(x)
Hvor q(x) er et polynomium
Det følger at graden af q(x) må være n-1.
Ved brug af nulreglen fås: f(x) = 0 ↔ (x-a) * q(x) = 0 ↔ (x-a) = 0 v q(x) = 0.
En rod i f(x) er derfor enten a, eller en af rødderne i q(x). Men q(x) har ifølge induktionsantagelsen højst n-1 rødder. Derfor har f(x) højt n rødder.
Hermed har vi vist induktionstrinnet.
Derfor følger af induktionsaksiomet, at sætningen er sand for alle n.