Hjælp til bevis

well.. du kan forsøge læse følgende:

www.zylov.dk/npol.doc

/ Ayhan
 

Måske har du styr på det men jeg kan starte med gøre rede for bevis metoden.

Induktionsbevis:

Består af tre skridt.

Sætningen skal gælde for tilfældet n = 0.

Herefter laves Induktionsantagelsen/-hypotesen, hvor man antager at sætningen er sand for alle tilfælde op til og med n-1 (dette kan så bruges til at vise sidste skridt).

Induktionsskridtet. bevis at sætningen gælder for n (og derved alle n) ved at bruge at du ved at sætningen gælder for n-1.

Hvorfor er dette en gyldig bevismetode? Fordi det har man valgt at antage som fundament for matematiken. det er et såkaldt aksiom.

Jeg har skrevet kommentarer med %

Et n-tegradspolynomium har højt n rødder.

Bevis: vi vil bevise sætningen ved induktion

Vi skal først bevise at sætningen er sand for n = 0

Et nultegradspolynomium er en funktion af formen: f(x) = a0
Hvor a0 er et tal der ikke er nul. Et sådant polynomium har ingen rødder. Derfor er sætningen sand for n= 0.
   % Altså har f(x) ikke flere end n = 0 rødder. Sætningen gælder

Induktionshypotese

Sætningen er sand for n-1, hvor n ≥ 1 (% n = 0 er bevist) .

Så skal vi bevise induktionstrinnet.

Vi skal så bevise at den er sand for n.

Betragt et polynomium f(x) af grad n, hvor n er mindst 1 (% n ≥ 1).
Hvis f(x) ikke har nogen rødder, har vi vist det ønskede. (% Altså har f(x) mindre en n  rødder)
Hvis f(x) har mindst en rod, vil vi kalde en rod for a. Vi ved allerede at division med (x-a) går op, så f(x) kan skrives: f(x) = (x-a) * q(x) (% omskriver f(x) til produktet af den kendte rod og et n-1'te grad polynomium p(x))

Hvor q(x) er et polynomium
Det følger at graden af q(x) må være n-1.

% Vi betragter nu eventuelle rødder i f(x) og må drager følgende konklusion.
Ved brug af nulreglen fås: f(x) = 0 ↔ (x-a) * q(x) = 0 ↔ (x-a) = 0 v q(x) = 0.

% Enten er roden en ny rod eller en rod i q(x).
En rod i f(x) er derfor enten a, eller en af rødderne i q(x).

%Hvis den nye rod dog er rod i q(x) er roden dog en blandt de n-1 rødder vi bruger induktionsantagelsen til bevise q(x) højst har.

Men q(x) har ifølge induktionsantagelsen højst n-1 rødder.

%Hvis det er en ny rod når vi altså højst op på n rødder

Derfor har f(x) højt n rødder.

Hermed har vi vist induktionstrinnet.
Derfor følger af induktionsaksiomet, at sætningen er sand for alle n.