Matematik
1. ordens lineær differential-ligning
Jeg vil høre hvordan man kan løse en første ordens lineær differential-ligning
Jeg ved at man skal bruge den såkaldte "panser-formel", men ved ikke helt hvordan man gør - er der evt en anden "nemmere" måde at løse sådanne diff-ligninger på
Differential-ligningen jeg skal løse lyder:
dy/dx + (ln(x))y = ln(x) + exp(-x*ln(x))
Svar #1
13. januar 2009 af Erik Morsing (Slettet)
Hvis du har din differentialligning på formen y' +f(x)*y = r(x), så løses den sådan her:
y(x) = exp(-h) * (∫exp(h)*r(x)dx + C), hvor din funktion h = ∫f(x)dx, så i dit tilfælde får du...ja det prøver du lige, og så gør jeg det samme.
Baggrunden for det hele er, at man først finder en løsning for den homogene ligning ved separation af de variable, og derefter skriver man den inhomogene ligning på en bestemt form, nemlig som
(fy-r)dx+dy=0
Så finder man en integrationsfaktor, der kun afhænger af x, og hvis den eksisterer, så må udtrykket
F(x)*(fy-r)dx + F(x)dy = 0 være eksakt o.s.v. men måske har du udredningen i din bog?
Svar #2
13. januar 2009 af Erik Morsing (Slettet)
For øvrigt kan du se, at exp(-x*ln(x)) = x--x = 1/xx
Svar #3
13. januar 2009 af Erik Morsing (Slettet)
Programmeringsfejl! Der står to minustegn i eksponenten,selvom jeg kun skrev det en gang.
Svar #4
13. januar 2009 af Erik Morsing (Slettet)
Nu har jeg ikke gjort prøve, men jeg får:
y(x) = 1-1/xx+1/xx *C*exp(x)
Svar #5
13. januar 2009 af bidiboo (Slettet)
Sagen er bare det, når jeg gør det, får jeg det til at blive:
y=c*exp(-x*ln(x)+x)+exp(-x*ln(x)+x)* integrale af (exp(x*ln(x)+x)*(ln(x)+exp(-x*ln(x))dx
Som du kan se bliver det ret vildt
Svar #6
13. januar 2009 af bidiboo (Slettet)
Og så skal exp(x*ln(x)+x) ganges ind i parantesen og så får man 2 produkter...
Svar #7
13. januar 2009 af Erik Morsing (Slettet)
Prøv at se mine udregninger her, du skal bare reducere udtrykket (vedhæftet fil).
Svar #9
13. januar 2009 af bidiboo (Slettet)
Jeg forstår ikke helt hvor du får 3 linje, altså : exp(x*(ln(x)-1))
Svar #11
13. januar 2009 af Erik Morsing (Slettet)
Hvilket klassetrin er du på? For den er da lidt avanceret for gymnasiet, synes jeg.
Svar #13
13. januar 2009 af bidiboo (Slettet)
Nu forstår jeg det, du har sat den ind i en parantes, tak :)
Svar #14
13. januar 2009 af Erik Morsing (Slettet)
OK, så er det godt, jeg tænkte nok, det var noget med en parantes. Har du gjort prøve.
Svar #15
13. januar 2009 af bidiboo (Slettet)
Jeg er nu kommet til: y=exp(-x*ln(x)+x) * (exp(x*ln(x)-x) + Integrale(exp(x*ln(x)-x)+x^-x)dx)
Svar #16
13. januar 2009 af bidiboo (Slettet)
Kan man slå integralet sammen så det hedder integrale af: x*exp(x*ln(x)-2x) ?
Svar #18
13. januar 2009 af bidiboo (Slettet)
Hmm, kommer jeg slet ikke frem til, får resultatet til at blive: y = 1 - e^(-x*ln(x)) + C*e^(-x*ln(x)+x)