Matematik
Vektorer og geometri i rummet !
Hej godtfolk.
Ønsker hjælp til et par opgaver som jeg ikke aner hvordan skal løses.
opg 1.
I hvert af følgende tilfælde er en punktmængde i et koordinatsystem i rummet givet ved en ligning. Beskriv punktmængden geometrisk.
a) (x^2) + (y^2) + (z^2) + (6x) - (2y) + (8z) - 10 = 0 - huh ?? Håber i kan hjælpe med denne..
opg 2.
I et koordinatsystem i rummet er en kugle givet vedligningen (x+2)^2 + (y-3)^2 + (z+5)^2 = 14.
Bestem en ligning for kuglens tangentplan i punktet P(0,0,-4)
opg. 3
Undersøg, om planen a er tangentplan til kuglen med ligningen x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 6y - 10z -43 = 0, når
a) a: 6x + 3y +6z - 108 = 0
opg. 4
I et koordinatsystem i rummet er en kugle givet ved ligningen (x+2)^2 + (y-3)^2 + (z+5)^2 = 14, og en linje L er givet ved parameterfremstillingen (x,y,z) = (8,6,1) + T*(11,1,3).
Gør rede for at L tangerer kuglen, og bestem koordinatsættet til tangentens røringspunkt R.
Svar #1
26. januar 2009 af mathon
opg 1.
x2 + y2 + z2 + 6x - 2y + 8z - 10 = 0
(x+3)2 - 9 + (y-1)2 - 1 + (z+4)2 - 16 = 10
(x+3)2 + (y-1)2 + (z+4)2 = 10 + 9 + 1 + 16
(x+3)2 + (y-1)2 + (z+4)2 = 62
Svar #3
26. januar 2009 af Erik Morsing (Slettet)
Den første er kuglens ligning, skriv den som (x-a)2+(y+b)2+(z+c)2=r2
Den anden: Planens ligning A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-z0). Så skal du indsætte punktet
Her er lidt at starte med
Svar #4
26. januar 2009 af mathon
opg 2.
vektor vCP = (-2-0,3-0,-5-(-4)) er en normalvektor til den søgte plan
med
fikspunkt P(0,0,-4)
Svar #5
26. januar 2009 af mathon
opg. 3
(x+2)2 + (y-3)2 + (z-5)2 = 92
med centrum C(-2,3,5)
centrums afstand fra planen α: 6x + 3y + 6z - 108 = 0 med normalvektorlængden √(62+32+62) = 9
beregnes:
dist(α,C(-2,3,5)) = |6*(-2) + 3*3 + 6*5|/9 = 27/9 = 3 forskellig fra radius 9,
hvorfor
α ikke er cirkeltangentplan
Svar #6
26. januar 2009 af mathon
hvis der for ligningssystemet
c: (x+2)2 + (y-3)2 + (z+5)2 = 14
x = 8 + 11t
y = 6 + t
z = 1 + 3t
netop findes én t-løsning,
ER L tangent
(8 + 11t + 2)2 + (6 + t - 3)2 + (1 + 3t + 5)2 = 14 som reduceres, ordnes og normeres til
t2 +2t +1 = (t+1)2 = 0 som har netop én løsning for t = -1
røringspunktet:
R = (8 + 11*(-1),6 + (-1),1 + 3*(-1)) = (-3,5,2)
Svar #7
13. august 2014 af jihudsif (Slettet)
#5
Skal 108 ikke også regnes med i dette tilfælde:
dist(α,C(-2,3,5)) = |6*(-2) + 3*3 + 6*5-108| / 9 ?
Det er der nemlig blevet gjort i andre tilfælde?
Svar #8
13. august 2014 af Andersen11 (Slettet)
#7
Jo, det har du ret i. Man finder, med den korrekte beregning af afstanden, at planen netop er en tangentplan til kuglen.
Skriv et svar til: Vektorer og geometri i rummet !
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.