bevis: potensfunktionerne, har de afledede...

Vi skal vise, at (x^k)' er a*x^k-1. Når jeg skriver k i stedet for a, så skyldes det, at man bruger k ved et induktionsbevis, som jeg vil lave.

For n=1 er (x¹)'=1=1*x⁰ så formlen passer for i dette tilfælde. Vi skal nu vise, at den passer for n = k≥1. Gør den det, så er den også sand for n=k+1. Vi laver nu en antagelse og siger, at (x^k)' = k*x^k+1, og så bruger vi produktreglen (se om denne i din matematikbog). Vi får (x^k+1)' = (x^k*x)' = (k*x^k-1)*x + x^k*1=(k+1)*x^k=(k+1)*x(^{k+1) -1}. Så formlen er altså sand for n=k+1. Så ved indukltione har vi vist, at formlen er sand for alle hele tal n ≥ 1.

Jeg fik vist sjusket lidt med det søvnige indlæg, så her kommer det igen:

Vi skal vise, at (x^k)' er k*x^k-1. Når jeg skriver k i stedet for a, så skyldes det, at man bruger k ved et induktionsbevis, som jeg vil lave.

For n=1 er (x¹)'=1=1*x0 så formlen passer i dette tilfælde. Vi skal nu vise, at den passer for n = k ≥ 1. Gør den det, så er den også sand for n = k+1. Vi laver nu en antagelse og siger, at (x^k)' = k*x^k-1, og så bruger vi produktreglen (se om denne i din matematikbog). Vi får (x^k+1)' = (x^k*x)' = (k*x^k-1)*x + x^k*1=(k+1)*x^k=(k+1)*x^{(k+1) -1}. Så formlen er altså sand for n=k+1. Så ved induktion har vi vist, at formlen er sand for alle hele tal n ≥ 1.
 

Hvis du er med på, at (e^x)' = e^x, og at ln'(x) = 1/x, så kan du køre således:

(x^a)' = (e^a*ln(x))' = e^e*ln(x)*(a*ln(x))' = a^x*a/x = a*x^a-1.

#3 ja det er også et fint bevis, men det forudsætter (som du også skrev) at han kender til den afledede af e^x med brug af implicit differentiation, så den kommer her y=e^x => x=ln(y) => 1=1/y*dy/dx=>dy/dx=y=e^x