En der vil LÆRE mig dette?

#0: Du har nu fundet, hvor din f(x) har en vandret tangent. Prøv nu at undersøge fortegnet for f'(x) i intervallerne imellem. Dvs., prøv at bestem f'(-2), f'(-1),f'(1) og f'(2).

JAmen jeg har jo 3 nulpunkter?

#2: Og?

hmm ok prøver lige, jeg skal ikke forvirre mig selv :-)

f '(2)=-4

f '(-1)=1

f '(1)=-1

f '(2)=4

Så den er voksende fra -4 til -1 så aftager den og derefter er den voksende fra -1 til 4?

Du gør dig selv en stor tjeneste hvis du plotter grafen for funktionen.

#6

Ja men min lærer vil vidst have at vi tegner grafen til aller sidst :-S

Jeg prøver lige at tage den forfra.

Når vi differentierer, finder vi per definition tangentens hældning i et givet punkt x. Vælger vi at sætte differentialkvotienten lig 0, finder vi altså en x-værdi, der svarer til et sted på grafen, hvor tangentens hældning er 0 - tangenten er altså vandret. Der må her naturligvis gælde, at vi har fat i et ekstremum af en slags, hvilket enten kan være et lokalt/globalt maksimum eller minimum eller for dens sags skyld en vandret vendetangent.

Så når du får løsningerne:

x=-√2 , x=0 , x=√2

ved vi altså, at tangenten i disse punkter er vandret, og at vi har at gøre med et ekstremum af en art. Hvilket slags ekstremum der er tale om, kan vi finde ud af ved at fortsætte vores analyse. Vi kan eksempelvis beregne, som du har gjort, f'(-2), og herved finde ud af, hvordan grafen opfører sig i dette punkt. Da f'(-2)=-4 giver et negativt tal er grafen aftagende i punktet, thi tangentens hældning er negativ, og dette må den nødvendigvis være fra -∞ til -√2, da vi jo inden har vist, at grafen ikke ændrer retning (der er ingen ekstremaer imellem).

Grafen er altså aftagende i intervallet ]-∞;-√2]. (da grafen umuligt kan gå fra -∞ vendes vores omklamring for at vise at -∞ ikke hører til i definitionsmængden, tallet nærmest dette gør dog)

Vi kan herefter fortsætte analysen. Denne gang skal vi finde ud af, hvad der sker imellem ekstremaet i punktet x=-√2 og ekstremaet i punktet x=0. Vi vælger et givent tal imellem, -1, og regner. f(-1)=1 hvorfor vi altså kan konkludere, at grafen er voksende i intervallet [-√2;0]. Endvidere kan vi konkludere, at ekstremaet i punktet x=-√2 er et (lokalt) minimum.

Sådan kan du gøre hele vejen. Du kan eventuelt tegne en monotonilinie, så er det nemmere at overskue.

Ok, men anyway så misforstår du, og det vil en graf kunne hjælpe dig med. Du har fundet dine nulpunkter og har nu nogle intervaller du skal kigge på:

Intervallet fra -inf til -sqrt(2)
Intervallet fra -sqrt(2) til 0
Intervallet fra 0 til sqrt(2)
Intervallet fra sqrt(2) til inf

Det gør du ved at snuppe en værdi i hver af intervallerne og se på hældningen i dette punkt. Eksempelvis viser:

f '(-1)=1

At funktionen er stigende i intervallet fra -sqrt(2) til 0.