Matematik
Optimeringsopgave - hjælp er lost!
Sidder med denne opgave og ved ikke hvad jeg skal:
En landmand har en eng, der støder op til en å. Med 240 m tråd- hegn vil han indhegne en rektangulær del af engen, så arealet bliver størst muligt. Hurtigt indser han, at det er smart at lade rektanglets ene side være afgrænset af åen, da der så ikke behøver være trådhegn på den side. Vis, at de tre sider i rektanglet skal være hhv. 60 m, 60 m og 120 m, når arealet skal være så stort som muligt.
Hvordan gøre jeg? Vil meget gerne guides igennem og ikke blot få svaret givet..
Svar #1
03. marts 2009 af Jerslev (Slettet)
#0: Lad os kalde den korte side for x. Du har dermed en ligning for arealet som funktion af den korte sidelængde:
A(x) = x*y, hvor y er den lange side.
Yderligere har vi fra længden af tråden:
240 = 2x+y.
Prøv nu at isolere y i den nederste ligning og indsæt i den øverste.
Svar #2
03. marts 2009 af Isomorphician
Start med at lave en skitse over problemet.
Se så om du kan opskrive et udtryk for hvordan man regner arealet af indhegningen ud.
Svar #3
03. marts 2009 af Fnulle00 (Slettet)
Altså jeg har at arealet er givet ved A(x)=x·y med udgangspunkt i længdne af tråden har vi endvidere at 240=2x+y, hvoraf y er givet ved:
240=2x+y⇔y=240-2x endvidere har vi af denne at:
A(x)=x·y=x·(240-2x)=-2x(x-120)
Hvad så nu?
Svar #4
03. marts 2009 af Isomorphician
Gang parentesen ud, så er det noget nemmere at differentiere, men ellers ja. Og du skal finde et maximum.
Svar #5
03. marts 2009 af Jerslev (Slettet)
#3: Gang ind i parantesen - det gør det nemmere lige om lidt.
Hvis dit areal skal være maksimalt; hvad betyder det for funktionen A(x)?
Svar #6
03. marts 2009 af Fnulle00 (Slettet)
#5
Det betyde rvel at jeg skal finde max:? Men hvordan gør jeg det uden CAS? Differ og sætter lig nul for derefter at løse mht. x?
A(x)=x·y=x·(240-2x)=-2x(x-120)= -2x2+240x
Svar #8
03. marts 2009 af Fnulle00 (Slettet)
#7
at f '(x)=0 :-) Se #6 har rettet det, så jeg skal diffe og sætte lig nul for derefter at løse mht. x?
Svar #10
03. marts 2009 af Fnulle00 (Slettet)
Ok, opsumering:
Altså jeg har at arealet er givet ved A(x)=x·y med udgangspunkt i længdne af tråden har vi endvidere at 240=2x+y, hvoraf y er givet ved:
240=2x+y⇔y=240-2x endvidere har vi af denne at:
A(x)=x·y=x·(240-2x)=-2x(x-120)=-2x2+240x
den afledede af A(x) er givet ved: A'(x)=240-4x
Denne sættes lig nul og løses mht. x:
240-4x=0⇔x=60
Hvad er næste skridt? Det næste burde sikker ligger til højrebenet, men kan ikek lige se mig ud af det...
Svar #11
03. marts 2009 af Jerslev (Slettet)
#10: Du har nu fundet ud af for hvilken længde af den korte side, at din areal er maksimalt. Nu skal du blot finde længden af den lange side. Hertil brug, at 240 = 2x+y.
Svar #16
03. marts 2009 af Fnulle00 (Slettet)
Jamen det er er der ikke, der er kun det der er angivet i #0
Tusind tak for hjælpen, det er altid rart, når man bliver guidet igennem det og ikek bare får svaret givet på forhånd Og self. også tak til Isomorph(et elelr andet), hvor har du det brugernavn fra? :-O
Skriv et svar til: Optimeringsopgave - hjælp er lost!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.