Ligning

Hvis w ej er rod i det første polynomium, er w ej heller rod i det andet polynomium.

Prøv nu at gange parentesen i det nederste polynomium ud og brug din viden om rødderne i det derved fremkomne polynomium til at opnå en modstrid.

Ahhh!!! Ja, det hjælper når man vågner ... tak for hjælpen.

Aaah det var da et smart hint :)
Skriv

p(w)*q(w) = (w^4+w^3+w^2+w+1)(w-1) = w^5 - 1

Gang selv ud og tjek det! Klart er w=1 den eneste rod i q(w) = w-1. Så de resterende (4) rødder i polynomiet w^5-1 må være rødder i p(w) på grund af nulreglen. Det er her hintet kommer ind i billedet. Nu er

w^5-1 = 0 <=> w^5 = 1 (1)

Måske har I lært om kompleks roduddragning. I så fald vil du vide, at løsningerne til (1) er på formen

w(k) = cos(2k/5*pi) + i*sin(2k/5*pi)

hvor k = 0,1,2,3,4 og blandt disse er netop

w = w(1) = cos(2/5*pi) + i*sin(2/5*pi)

for k=1, hvilket skulle vises.
Bemærk, at for k=0 fås w=1, som vi jo også fandt som rod i q(w) ovenfor. Tjek eventuelt på grafegneren (med kompleks notation), at de øvrige rødder er som angivet ovenfor.

Er du med på ræssonementerne?

//Singularity

Tænkte på om formlen

(x-1) \\sum_{k=0}^n x^k = x^{k+1}-1

har et bestemt navn?

Jeg er slet ikke med på, hvad du mener med det udtryk, du skriver.

Summerer du fra k=0 til n af x^k med en faktor (x-1) foran summationstegnet?

Hvis jeg er helt galt på den, må du lige skrive, hvad du mener.

//Singularity