HJÆLP 3.gradsligning haster

  en 3. gradsligning har to toppunkter. for at den skal ha' netop 2 skæringspunkter skal et af toppunkterne vel tangere første aksen.

Så jeg vil nok forsøge at finde toppunkternes x-værdier som vi kan kalde x_0 og så ville jeg løse for k når f(x_0)=0

så jeg vil starte med at differentiere f(x) og sætte den lig med 0, og derefter løse for k i f(x_0).

f(x) = x²(x+6) + k

f '(x) = 3x² + 12x = 3x(x + 4)

monotoniforhold:
for x<-4 er f '(x)>0, hvorfor f(x) er monotont voksende
for -4<x<0 er f '(x)<0, hvorfor f(x) er monotont aftagende
for x>0 er f '(x)>0, hvorfor f(x) er monotont voksende
 

hvorfor f(x) har lokalt maksimum for x = -4     f_max = f(-4) = 32 + k
hvorfor f(x) har lokalt minimum for x = 0         f_min = f(0) = k

hvis
f_min = f(0) = k = 0
har
grafen for f_o(x) = x²(x+6) netop to nulpunkter x = -6 og x = 0
hvis k<0
forskydes grafen for f_o(x) ned langs y-aksen og f_k(x) får 3 nulpunkter, da minimum rykker under x-aksen

hvis k>0
forskydes grafen for f_o(x) op langs y-aksen og f_k(x) får 1 nulpunkt, da minimum rykker over x-aksen