Monotoniforhold

lokale eksrema er der hvor grafen har sine toppunkter, altså der hvor grafens hældning er lig med 0. Det finder du ved at differentiere f(x) og sætte den lig med 0.

du skal bestemme hvornår grafen/funktionen vokser og aftager = monotoniforhold. dette kan du gøre ved at indsætte x-værdier der er større og mindre end de fundne esktremusteders x-værdier ind i f '(x). Er resultatet negativ, så aftager grafen og omvendt når det er positivt.

et bud er : 1) tag f´(x)   2) løs ligning f´(x)=0  for ekstrema punkter

så kan du selv herfra :)

f '(x) = 2x - 2/x² = 0               divideres med 2

x - (1/x²) = 0                          multipliceres med x²

x³ - 1 = 0

x³ = 1

x = 1

monotoniforhold:
for x<1 er f '(x) xxxx 0, hvorfor f(x) er  monotont xxxxxxx
for x>1 er f '(x) xxxx 0, hvorfor f(x) er monotont xxxxxxx            gør selv færdigt!

Monotoniforholdene angiver i hvilke intervaller grafen for f er voksende eller aftagende. Om grafen er voksende eller aftagende bestemmes af grafens hældning, er grafens hældning positiv, er grafen voksende, og er grafens hældning negativ er grafen aftagende.

En funktions, f(x), hældning til en bestemt x-værdi er givet ved den aledte funktion f'(x). Så når du skal finde ud af monotoniforhold for grafen skal du altså finde ud af for hvilke x-værdi f'(x) er henholdvis positiv og negativ.

Derfor bestemmes først den afledte funktion:

f'(x) = 2x + 2/(-x^2), x > 0

Herfter bestemmes nulpunkter for f'(x). I nulpunkterne er f'(x) = 0  og dermed er grafen for f's hældning altså også lig nul og det er altså i disse punkter at grafen så at sige vender fra enten at være vokende eller aftagende idet grafen for f' her skærer x-aksen og altså enten går fra at være positiv til at være negativ.

f'(x) = 2x - 2/(x^2) = 0

Jeg bruger solve på min lommeregner og får:

x = 1 der altså er nulpunkt for f'

Herefter laver du en fortegnsanalyse af f', det kan gøres på lommeregner, men du kan også bare regne f' for en x-værdi for hvilken f er defineret (i dette tilfælde er x > 0).

f'(0,5) = -7

f'(2) = 7/2

f' har altså negativt fortegn for alle x-værdier mindre end 1 og positivt fortegn for x-værdier større end 1, altså er f aftagende i intervallet ]0;1] og voksende i intervallet [1;(uendelig)].

Lokale ekstrema for en graf er hvor grafen har "toppunkt"/"vender" fra at være aftagende til voksende eller omvendt. Jeg fandt ud af at grafen har lokalt ekstrema/"vender" for x = 1 og da grafen er aftagende før og voksende efter, har grafen for f lokalt minimum i (1;f(1)) = (1;3)

Nu kom der en lang smøre, håber du kan bruge bare noget af det :)