Matematik
Analyseopg, konvergens (uni, 1. år)
Hej, jeg sidder med en opgave hvor man skal hvis at hvis rækken
sum (fra n=1 til uendelig) n^2*(a_n)^2
er konvergent,
da er rækken
sum (fra n=1 til uendelig) (a_n)^2
absolut konvergent.
Som vink står der at man kan vise og benytte uligheden l ab l =< 0.5(a^2 + b^2)
Jeg har selv prøvet hvor jeg har taget udgangspunkt i nulkriteriet, dvs. vi kan gøre n^2*(a_n)^2 vilkårligt lille, f.eks. kan vi vælge N så n^2*(a_n)^2 < 0.5 for n>N.
Og så sige: l a_n l =< l n*a_n l =< 0.5(n^2 + (a_n)^2)
Men herfra kan jeg ikke komme videre... (jeg går ud fra vi skal ende op med n^2*(a_n)^2 på højresiden så man kan bruge sammenligningstesten).
Selve uligheden l ab l =< 0.5(a^2 + b^2) kan jeg heller ikke vise, jeg har prøvet at lægge a^2*b til og fra og brugt trekantsuligheden, men jeg synes ikke det fører til noget.
Anyways, håber der er nogen der kan hjælpe mig med denne her opgave inden på mandag :-)
Svar #1
23. maj 2009 af peter lind
Du har (a+b)2 = a2+b2+2ab >=0 og dermed ½(a2+b2)> =ab. Da den også holder hvis du skifter fortegn på a og/eller b må den ønskede ulighed gælde.
jeg kan ikke se hvorfor det er nødvendig med dette til at bevise sætningen. Da (a_n)2 >=0 vil der gælde at den oprindelige række er absolut konvergent og der gælder n2(a_n)2 >= (a_n)2, vil rækken konvergere
Svar #2
23. maj 2009 af Matematikeren182 (Slettet)
Tak for hjælpen til det med (a+b)2 = a2+b2+2ab >=0...
Jeg tænkte også på at bruge n2(a_n)2 >= (a_n)2, men da det er et analysekursus tænkte jeg, at det sikkert bare er "snyd" at gå direkte i mål på en måde... :-)
Jeg tænkte lidt på om man kunne bruge uligheden ud fra følgende til noget?
la_n / nl =< 0.5 ( (a_n)^2 + 1/n^2)
Svar #3
23. maj 2009 af Matematikeren182 (Slettet)
Hov sorry, jeg har også skrevet det forskert op...
Da jeg skrev:
sum (fra n=1 til uendelig) (a_n)^2
Mente jeg:
sum (fra n=1 til uendelig) a_n
Det er altså a_n som er absolut konvergent, ikke (a_n)^2 selvfølgelig :-)
Skriv et svar til: Analyseopg, konvergens (uni, 1. år)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.