Andengradsligning

Om andengradsligninger generelt

En andengradsligning er en polynomiumsligning af anden grad. Den generelle form er:

ax² + bx + c = 0

hvor a ≠ 0. (Hvis a = 0 vil der være tale om en førstegradsligning)

Tre simple eksempler på andengradsligninger kan være:

I) 3x² + 2x - 4 = 0 (hvor a = 3, b = 2 og c = -4)
II) -2x² + 2 = 0 (hvor a = -2, b = 0 og c = 2)
III) x² + 9x = 0 (hvor a = 1, b = 9 og c = 0)

En andengradsligning med reelle eller komplekse koefficienter har altid to løsninger/rødder (som ikke nødvendigvis er forskellige) og kan antage både reelle og komplekse værdier, som bestemmes ved brug af den generelle løsningsformel:

x = (-b ± sqrt(d))/2a

hvor d kaldes diskriminanten, som bestemmes ved formlen:

d = b² - 4ac

Det ses ud fra løsningsformlen for andengradsligningen, at når d<0 er der ingen reelle løsninger, da kvadratet på størrelser ikke kan give negative værdier inden for R. Når d=0 er der netop én løsning (eller rettere to løsninger som har samme værdi), som bestemmes ved den simplificerede udgave af løsningsformlen:

xd=0 = -b/2a

Og for d>0 er der to løsninger (x1 og x2), som bestemmes ved brug af løsningsformlen:

x1 = (-b + sqrt(d))/2a

&

x2 = (-b - sqrt(d))/2a

Eksempel på løsning af en andengradsligning

Find samtlige løsninger til andengradsligningen 6x² - 12x - 4 = 0

Diskriminanten for denne ligning er:

d = (-12)² - 4*6*(-4) = 240

Derfor ledes der efter to reelle løsninger (x1 og x2). Ved indsættelse af værdierne i løsningsformlen fås:

x1 = (-(-12) + sqrt(240))/2*6 ≈ 2,3

&

x2 = (-(-12) - sqrt(240))/2*6 ≈ -0,3

Bevis for løsningsformlen for andengradsligninger

Vi starter ud med den generelle andengradsligning:

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

Ved at gange igennem med 4a fås:

4a²x² + 4abx + 4ac = 0

Herefter lægges b² til på begge sider:

4a²x² + b² + 4abx + 4ac = b²

Ved brug af en kvadratsætning fås nu:

(2ax+b)² + 4ac = b²

4ac trækkes fra på begge sider:

(2ax+b)² = b² - 4ac

Højresiden kaldes for d, hvorfor

(2ax+b)² = d

Når d er 0 vil der være netop én løsning som er:

(2ax+b)² = 0

<=>

x = -b/(2a)

Når d<0 er der ingen reelle løsninger, da kvadratet på størrelser ikke kan give negative værdier. Når d>0 fås:

(2ax+b)² = d

<=>

2ax + b = ±sqrt(d)

<=>

x = (-b ± sqrt(d))/2a

Q.E.D