Matematik
Mega svær mat.opg.
31. december 2004 af
Matti17 (Slettet)
Okay, denne opgave vil jeg mene ligger over gym.niveau, men den har åbenbart været der til eksamen engang, så det er den vel ikke. Den er mega svær i hvert fald synes jeg.
"I et koordinatsystem med begyndelsespunkt O er en parabel graf for funktionen
f(x) = -0,5x^2 + 5
Det oplyses, at tangenten til grafen for f i punktet P(x_0, f(x_0)), hvor x_0 forskellig fra 0, er vinkeltret på linjen gennem punkterne O og P.
Beregn de mulige værdier af x_0."
Altså, hvad gør jeg her? Er der sådan noget med tværvektorer, ortogonale linjer osv. Men mulige værdier af x_0, vi har jo ingen informationer at regne ud fra!!!
"I et koordinatsystem med begyndelsespunkt O er en parabel graf for funktionen
f(x) = -0,5x^2 + 5
Det oplyses, at tangenten til grafen for f i punktet P(x_0, f(x_0)), hvor x_0 forskellig fra 0, er vinkeltret på linjen gennem punkterne O og P.
Beregn de mulige værdier af x_0."
Altså, hvad gør jeg her? Er der sådan noget med tværvektorer, ortogonale linjer osv. Men mulige værdier af x_0, vi har jo ingen informationer at regne ud fra!!!
Svar #1
31. december 2004 af Duffy
"I et koordinatsystem med begyndelsespunkt O er en parabel graf for funktionen
f(x) = -0,5x^2 + 5
Det oplyses, at tangenten til grafen for f i punktet P(x_0, f(x_0)),
hvor x_0 forskellig fra 0, er vinkeltret på linjen gennem punkterne O og P.
Beregn de mulige værdier af x_0."
Her er mere end rigeligt me dinfo at regne ud fra!!
- Tangent til f i P(x_0, f(x_0)) , x_0 ej 0.
- Tangenten til grafen for f i punktet P(x_0, f(x_0)),
er vinkeltret på linjen gennem punkterne O og P.
Well, linien gennem O og P skal findes:
Jah, den går jo gennem O(0,0) og P(x_0,f(x_0))
[ved at se på en skitse for grafen for f kan man få
en idé om hvor denne vinkelrethed skal findes - vel
nok i 1. og 4. kvadrant] , nåh, men sådan en linie har
forskrkift ax+b med b=0.
a= (f(x_0)-0)/(x_0-0) = f(x_0)/x_0 = (-0,5x_0^2 + 5)/x_0
Tangentliniens hældning er jo givet ved differentialkvotienten
og er således
f'(x_0)=-0,5*2*x_0^(2-1) + 0 = -x_0
Og hvad skal vi så med alt dette?
Joh, vi er lige ved vejs ende da vi fra formelsamlingen
får forærende at 2 linier står vinkelret på hinanden
hvis produktet af deres hældningskoefficienter er lig
med -1 .
Altså vi skal løse ligningen:
a*f'(x_0) = -1
=>
[(-0,5x_0^2 + 5)/x_0 ]*(-x_0) = -1
=>
0,5x_0^2 - 5 = -1
=>
x_0^2 = 8
=>
x_0 = -sqrt(8) v x_0 = sqrt(8)
dvs
x_0 = -2,8284 v x_0 = 2,8284
hvilke er de søgte værdier.
Så vi har altså informationer at regne ud fra!!!
Duffy
f(x) = -0,5x^2 + 5
Det oplyses, at tangenten til grafen for f i punktet P(x_0, f(x_0)),
hvor x_0 forskellig fra 0, er vinkeltret på linjen gennem punkterne O og P.
Beregn de mulige værdier af x_0."
Her er mere end rigeligt me dinfo at regne ud fra!!
- Tangent til f i P(x_0, f(x_0)) , x_0 ej 0.
- Tangenten til grafen for f i punktet P(x_0, f(x_0)),
er vinkeltret på linjen gennem punkterne O og P.
Well, linien gennem O og P skal findes:
Jah, den går jo gennem O(0,0) og P(x_0,f(x_0))
[ved at se på en skitse for grafen for f kan man få
en idé om hvor denne vinkelrethed skal findes - vel
nok i 1. og 4. kvadrant] , nåh, men sådan en linie har
forskrkift ax+b med b=0.
a= (f(x_0)-0)/(x_0-0) = f(x_0)/x_0 = (-0,5x_0^2 + 5)/x_0
Tangentliniens hældning er jo givet ved differentialkvotienten
og er således
f'(x_0)=-0,5*2*x_0^(2-1) + 0 = -x_0
Og hvad skal vi så med alt dette?
Joh, vi er lige ved vejs ende da vi fra formelsamlingen
får forærende at 2 linier står vinkelret på hinanden
hvis produktet af deres hældningskoefficienter er lig
med -1 .
Altså vi skal løse ligningen:
a*f'(x_0) = -1
=>
[(-0,5x_0^2 + 5)/x_0 ]*(-x_0) = -1
=>
0,5x_0^2 - 5 = -1
=>
x_0^2 = 8
=>
x_0 = -sqrt(8) v x_0 = sqrt(8)
dvs
x_0 = -2,8284 v x_0 = 2,8284
hvilke er de søgte værdier.
Så vi har altså informationer at regne ud fra!!!
Duffy
Svar #2
01. januar 2005 af Matti17 (Slettet)
Yes, jeg havde helt glemt den oplysning, at 0,0 ligger på linjen OP, hehe... Tak for hjælpen... Hvis du er på udkig efter sjove ting, så tjek mit andet indlæg om geometri.
Skriv et svar til: Mega svær mat.opg.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.