Find alle diskontinuitetspunkter og argumentér for dit svar.

#0: Se : https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=734381

Det er velkendt, at ethvert 2. grandspolynomium er kontinuert på hele R. Der findes så sætning der forsikrer dig om, at så længe (x+1)*(x+3) er forskellig fra nul vil f som kvotienten af to kontinuerte funktioner være kontinuert.

Diskontinuitetspunkter skal derfor søges i mængden af rødderne for (x+1)*(x+3), altså {-3,-1}. Det kan gøres ved at bestemme grænseværdien for f(x) når x går imod -3 og grænseværdien for f(x) når x går imod -1. I det første tilfælde kan det vises, at grænseværdien ikke eksisterer og funktionen derfor er diskontinuert i punktet. For det andet tilfælde er grænseværdien lig med 1, som også er funktionsværdien af f i punktet x=-1 og dette er derfor ikke et diskontinuitetspunkt.

Jeg har selv 3 forslag til hvordan opgaven løses, men jeg er ikke kommet frem til nogen løsning, så der må være bedre forslag.

1. Vi kan se at funktionen i tælleren er kontinuert, funktionen i nævneren er kontinuert, da må kvotienten være kontinuert overalt hvor den er defineret. Hvorfor den må være diskontinuert i punkter den ikke er defineret i. Dvs de steder hvor nævneren bliver lig med 0. Men desværre er funktionen defineret til f(-3)=1 og f(-1)=1 så den metode dur vel ikke?

2. Vi kan forsøge at vise ε/δ metoden leder til en selvmodsigelse hvis vi antager at funktionen er kontinuert i {-3,-1}, men hvordan ved vi så vi har alle diskontinuitetspunkter, når vi kun undersøger to steder?

3. Vi kan undersøge grænseværdien for f(x) for x gående mod -3 og -1, men jeg kan ikke selv finde ud af at bestemme grænseværdien.

Nogle forslag?

Nu ved jeg da at jeg er på rette spor.

Tak for hjælpen

Hej. Godt at se andre også bakser med matintro opgaver:) Jeg har gjort følgende:

Jeg kan se funktionen kan forkortes:

(1 - x²)/(x+1)(x+3) = (1+x)(1-x)/(x+1)(x+3) = (1-x)/(x+3)

Heraf giver det kun mening at f kan være diskontinuert for f(-3), da f: R → R, og altså kun indeholder reelle tal. Antager jeg dette, må der deraf følge at f(x^-) =/= f(-3) =/= f(x⁺), hvor =/= betyder forskelligt fra:

lim_x→-3⁺= (1-x+)/(x⁺+3) = (1 - (-3 + 0,001))/((-3 + 0,001) + 3) = 3,999/0,001 = 3999

lim_x→-3^-= (1-x-)/(x^-+3) = (1 - (-3 - 0,001))/((-3 - 0,001) + 3) = 4,001/(-0,001) = -4001

Jeg ser tydeligt f(x^-) =/= f(-3) =/= f(x⁺), hvorfor f er diskontinuert for x = -3.

--------------------

Jeg følger dog, jeg mangler noget i min argumentation. Kan nogen hjælpe?