Differentialligning

Bestem den løsning f til differentialligningen

y ' = e ^{x - 1} - 2y

hvis graf i punktet A (1, f(1)) har en tangent med ligningen y = 2x - 1

________________________________________________________________

Jeg er lidt i tvivl om, om man skal bestemme f(1) til at starte med?

I så fald har jeg først fundet f '(x):

f ' (x₀) = e^1-1 - 2 * f(1) = 1 - 2 * f(1)

Dette sættes ind i tangentligningen:

y = f  ' (x₀) * (x-x₀) + f(x₀) = 2x - 1

2x - 1 = (1 - 2 * f(1)) * (x - 1) + f(1)

<=> x = (3 * f(1)) / (2 * f(1) + 1) = 1

<=> f(1) = 1

.

Dette kan vi så bruge når vi skal finde løsningen til vores differentialligning:

y ' = e ^{x - 1} - 2y    <=> y ' + 2y = e ^{x - 1}

a = 2, h(x) = e ^{x - 1}

y = e^{- a * x} · ∫ h(x) · e^a*x

y = e^{-2 * x} · ∫ e ^{x - 1} · e^2*x dx

y = e^{-2 * x} · ∫ e ^{3x - 1} dx

y = e^{-2 * x} · (1/3 * e^x-1 + k)

y = 1/3*e^-x-1 + k*e^-2*x

Vi indsætter punktet A(1,f(1)) = A(1,1)

y = 1/3*e^-1-1 + k*e^-2*1 = 1

y = 1/3*e^-2 + k*e^-2 = 1

⇔k = 7,05572

Og den endelige løsning vil altså være:

f(x) = 1/3*e^-x-1 + 7,05572*e^-2*x

..

Så vil jeg bare gerne vide om det er den rigtigt måde at gøre det på `?