Differentialligning

Brug et CAS værktøj.

tror slet ikke jeg er med.

vil gerne kunne forstå det, ikke bare taste det på en lommeregner.

Kan jeg sige f´(t) = 0,01(f(t)-400)= 0,01*400-200e-4 00?

Nej. Når jeg skriver som jeg gør er det fordi jeg tror det er meningen at du skal taste det ind på en lommeregner eller lignende. Løsningen af ligningen med håndkraft kræver lidt kendskab til løsning af differentialligninger. I det aktuelle tilfælde er der færdige formler. Her er en metode.

Kald f(t) = y(t) Så har du y'= 0,01y-4. I første omgang ser jeg bort fra de 4 og får differentialligningen y'=dy/dt = 0,01y Dette omskrives til dy/y= 0,01dt. Integreres på begeg sider fås ln|y| = 0,01t+k <-> y = Ce^0,01t.  k og C er integrationskonstanter. Til ligningen med de -4 med kan man gætte på en løsning af samme form d.v.s. en konstant. altså y=k (k ar ikke noget som helst med integrationskonstanten at gøre)Sætter du det ind får du y'=0 = 0,01*k-4 <-> k=400. Den generelel løsning er summen af løsningen til den homogene ligning og den sidste løsning altså y = Ce^0,01t +400. Du kan så sætte betingelsen f(100) = 400-200e for at finde C

y' - 0,01y = -4                                                     multiplicer med e^-0,01·t på begge sider

e^-0,01·t·y '  - 0,01·e^-0,01·t·y = -4·e^-0,01·t

(e^-0,01·t·y)' = -4·e^-0,01·t                                      som integreret med hensyn til t på begge sider giver

e^-0,01·t·y = -4∫e^-0,01·tdt

e^-0,01·t·y = -4·(-100)·e^-0,01·t + C

e^-0,01·t·y = 400·e^-0,01·t + C

y = 400 + Ce^0,01·t

y = f(t) = Ce^0,01·t + 400  og  f(100) = Ce^0,01·100 + 400 = 400 - 200e
                                                             C·e = -200e
                                                             C = -200
konklusion:
                  f(t) = -200e^0,01·t + 400

generelt:
y' + f(x)·y = g(x)                               integrationsfaktoren er e^∫f(x)dx