Matematik

differentialligninger

06. november 2009 af smukkedivadiva (Slettet)

hey derude,

jeg er blevet stillet denne opg.:

I en model for, hvordan en bestemt population udvikler sig i tidens løb, antages det, at
populationens væksthastighed er proportional med populationens størrelse.
Tiden måles i døgn, og proportionalitetskonstanten er 0,084. t
Det antages, at der til at begynde med er 10 individer i populationen.

a) Opskriv en differentialligning, der beskriver populationens udvikling.

c) I modellen antages det, at populationens vækst efter de 7 døgn ændrer sig, således
at antallet y af individer i populationen som funktion af tiden t opfylder
differentialligningen:

(dy)/(dt) =0.0022*y(100 - y)

Bestem, hvor mange døgn der går, før antallet af individer i populationen
er nået op på 90% af populationens maksimum.

hvordan løses den :S ?

på forhånd taaak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. november 2009 af mathon

de første 7 døgn

y = 10·cosh(√(0,084)·t)

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. november 2009 af vindhansen (Slettet)

Sp 1 )

y' = ky

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. november 2009 af mathon

efter 7 døgn

y = 100/(1 + C·e^-0,22·t)

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. november 2009 af vindhansen (Slettet)

Det grafiske billede af hyberbolsk cosinus er en kæde der hænger og ophængt i to punkter. Måske ikke den bedste model i dette tilfælde.

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. november 2009 af mathon

y = 10·cosh(√(0,084)·7) = 38,682

.................................

C bestemmes

y = 100/(1 + C·e^-0,22·t)

                      (1 + C·e^-0,22·t) = (100/y)

                       C·e^-0,22·t = ((100/y) - 1)

C = ((100/y) - 1)·e^0,22·t gennem (7;38.682)

C = ((100/38,682) - 1)·e^0,22·7= 7,39423
hvoraf

y = 100/(1 + 7,39423·e^-0,22·t) og t ≥ 0

Brugbart svar (0)

Svar #6
06. november 2009 af mathon

y = 10·cosh(√(0,084)·t) og t ≥ 0 hvorfor modellen er god

(men kun i 7 døgn)

Brugbart svar (0)

Svar #7
07. november 2009 af mathon

modellen er ikke god til beskrivelse af populationsudvikling i almindelighed,
men
i lige præcis denne specifikke - måske noget praksisfjerne opgavesammenhæng - hvor man lige har ønsket at tjekke eleven af
i differentialsammenhængen

y'' = k·y k>0 er den løsningen

for populationens væksthastighed

...........

vækst = y'

væksthastighed = y''

Brugbart svar (0)

Svar #8
07. november 2009 af mathon

det var den så ikke alligevel
rettelse = kommajustering:

y = 10·cosh(√(0,0084)·t) t≥0

Brugbart svar (0)

Svar #9
07. november 2009 af mathon

endnu en kontrolregning viser;
at man/jeg ikke skal korrigere differentialligninger tidligt en lørdag morgen:

y = 10·cosh(√(0,084)·t) t≥0 som oprindeligt,

y' = 10·√(0,084)·sinh(√(0,084)·t)

y'' = 10·√(0,084)²·cosh(√(0,084)·t) = 0,084·(10·cosh(√(0,084)·t)) = 0,084·y

......................

c)
7,39423·e^-0,22·t = ((100/y) - 1)

e^-0,22·t = ((100/y) - 1)/7,39423

-0,22·t = ln(((100/y) - 1)/7,39423)

t = -ln(((100/y) - 1)/7,39423)/0,22

t = -ln(((100/90) - 1)/7,39423)/0,22

Skriv et svar til: differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.