Matematik

Analytisk geometri - bestemmelse af koordinatsæt

15. januar 2005 af KickAzz (Slettet)

Hej

Jeg har brug for hjælp til denne opgave:

*****************
I et koordinatsystem er en linje bestemt ved, at den går gennem punkterne A(-1,13) og B(3,10). En cirkel er bestemt ved, at den har centrum i punktet C(3,2) og radius = 4.

1) Bestem en ligning for linjen og en ligning for cirklen.

2) Bestem koordinatsættet til det punkt, der har den mindste afstand til cirklen.

*****************

Jeg havde ikke ingen problemer med den første opgave, den giver:

linje: y = -(3/4)x + 12,25
cirkel: (x-3)^2 + (y-2)^2 = 16

Problemet er så at bestemme koordinatsættet i opgave 2. Jeg er helt blank, så derfor håber jeg på at I kan hjælpe.

Mvh

Peter / KickAzz

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

1) Enig.

2) Mon ikke du mener det punkt PÅ LINIEN, som har den mindste afstand til cirklen?

I så fald, prøv først at undersøge, om linien skærer eller tangerer cirklen.

//Singularity

Svar #2
15. januar 2005 af KickAzz (Slettet)

Rettelse:

2) Bestem koordinatsættet til det punkt på cirklen, der har den mindste afstand til linjen.

-----------
Jeg har tegnet cirklen og linjen, og ud fra det kan jeg se at linjen hverken skærer eller tangerer cirklen.

Har du nogle forslag til hvad jeg så kan gøre?

Svar #3
15. januar 2005 af KickAzz (Slettet)

Singularity, ved du hvad jeg skal gøre for at finde koordinatsættet til det punkt på cirklen, der har den mindste afstand til linjen?

Mvh
Peter

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#2: Ja, så må vi jo tænke lidt videre. Ved afstand punkt-linie forstås den vinkelrette afstand fra punktet til linien, dvs. langs den normal til linien, som indeholder punktet.

Vink: bestem en ligning for den linie, som står vinkelret på linien med ligning

y = 12.25 - (3/4)x

og som indeholder cirklens centrum.

//Singularity

Svar #5
15. januar 2005 af KickAzz (Slettet)

Jeg får at ligningen: y = (4/3)x - 2, er vinkelret på linjen med ligning: y = 12,25 - (3/4)x.

Når jeg indtegner cirklen og de to linjer, kan jeg se, at der skal være en linje som tangerer cirklen. Denne linje vil være parallel med linjen: y = 12,25 - (3/4)x. Det punkt på cirklen hvor denne linje tangerer cirklen, vil være det punkt på cirklen, som har den mindste afstand til linjen med ligningen: y = 12,25 x - (3/4)x

Undskyld hvis jeg skriver forvirrende. Nu kan jeg ikke komme længere. Jeg kan finde den nye lignings hældningskoefficient, men mangler skæringspunktet på y-aksen, før jeg kan finde skæringspunktet mellem linjen indeholdene cirklens centrum og linjen der tangerer cirklen.

Mvh
Peter

Brugbart svar (0)

Svar #6
15. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Det er helt korrekt, hvad du skriver. Det er da ikke forvirrende overhovedet :)

Du kan jo finde skæringspunkterne mellem linien med ligningen

y = (4/3)x - 2

og cirklen. Det ene af disse er det punkt på cirklen, som har kortest afstand til linien med ligning

y = 12.25 - (3/4)x

//Singularity

Svar #7
15. januar 2005 af KickAzz (Slettet)

Det forstår jeg ikke helt. Hvordan vil du finde skæringspunkterne mellem cirklen og linjen?

Brugbart svar (0)

Svar #8
15. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#7: Indsæt ligningen for linien;

y = (4/3)x - 2

i cirkelligningen

(x-3)^2 + (y-2)^2 = 16

og bestem skæringspunkterne. Der SKAL være to, idet linien indeholder cirklens centrum. Det ene af disse punkter er det i opgaveteksten omspurgte punkt. Hvilket af punkterne, der er tale om, kan du afgøre ved at beregne afstanden fra hvert af punkterne til linien med ligning

y = 12.25 - (3/4)x

//Singularity

Svar #9
16. januar 2005 af KickAzz (Slettet)

Hej igen,

Jeg forstår ikke hvordan du vil sætte ligningen for linjen:

y = (4/3)x - 2

ind i cirkelligningen

(x-3)^2 + (y-2)^2 = 16

Kommer det så ikke til at være en andengradsligning?

Vil du ikke være så venlig at indsætte ligningen for linjen i cirkelligningen, og bestemme skæringspunkterne?

Mvh
Peter

Svar #10
16. januar 2005 af KickAzz (Slettet)

Jeg tror jeg har gennemskuet lidt af det. De to x-værdier passer i hvertfald fint med de x-værdier for skæringspunkterne mellem cirklen og ligningen der går gennem centrum.

Jeg får x = 0,6 V x = 5,4

Hvordan finder jeg så y-værdierne?

Svar #11
16. januar 2005 af KickAzz (Slettet)

Ahh.. Y-værdierne findes bare ved at indsætte x-værdierne i ligningen:
y = (4/3)x - 2

y = -1,2 V y = 5,2

Skæringspunkter: (0,6 ; -1,2) V (5,4 ; 5,2)

Og så er det bare at bruge dist-formlen til sidst.

Skriv et svar til: Analytisk geometri - bestemmelse af koordinatsæt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.