Matematik

Differentialligning

20. november 2009 af Jone (Slettet)

Hej alle

Har en opgave, som jeg har løst. Men jeg er usikker på om det er rigtig forstået og regnet. Håber hjælp? Tak

Opg.

Undersøg om f(x)=e^4x- 2x²- x - (1/4) er en løsning til differentialligningen (dy/dx)=4y +8x² eller f ´(x)= 4 * f(x) + 8x²

Jeg indsætter f(x) i f '(x) og får: f ' (x) = 4*e^4x- 4x - 1. Er dette korrekt? Og vil det sige, at løsningen ikke er sand, og dermed er f(x)=e^4x- 2x²- x - (1/4) ikke en løsning til (dy/dx) = 4y +8x²?

Brugbart svar (1)

Svar #1
20. november 2009 af maddse (Slettet)

Du har

dy/dx = f'(x) = 4e^4x -4x-1

y = f(x) = e^4x -2x² -x-1/4

Hvis dette indsættes i den oprindelige lignning får du

4e^4x-4x-1 = 4*( e^4x -2x² -x - 1/4) -8x²

Der hvis du ganger parantesen ud og reducerer, ses at være sand for alle værdier af x.

f(x) er derfor løsning til differentialligningen

Svar #2
20. november 2009 af Jone (Slettet)

Jeg har to spørgsmål. Du har skrevet 4e^4x -4x-1 = 4*( e^4x -2x² -x - 1/4) -8x². Her mener du vel +8x²og ikke -8x²?

Hvordan kan løsningen være sand, da f'(x) = 4e^4x -4x-1 ikke er lig med (dy/dx) = 4y +8x². Altså jeg tror ikke jeg forstår, hvordan en funktion f(x) er en løsning til en given differentialligning. Altså hvad skal der gælde, for at f(x) er en løsning til differentialligningen?

Brugbart svar (3)

Svar #3
20. november 2009 af maddse (Slettet)

Naturligvis mener jeg +8x². - Sikke noget sjusk fra min side :-)

y svarer til f(x)

dy/dx svarer til f'(x)

Hvis du indsætter f(x) på y's plads i ligningen og f'(x) på dx/dy's plads, er f(x) løsning, hvis ligningen gælder for et vilkårligt valg af x.

4e^4x-4x-1 = 4*( e^4x-2x² -x - 1/4) + 8x²

Hvis du ganger parantesen på højre side ud, får du

4e^4x -4x-1 = 4e^4x -8x² -4x - 1 + 8x²

-8x² 0g +8x² går ud med hinanden og du har det samme stående på begge sider af lighedstegnet. Dette gælder for alle x og f(x) er derfor løsning til differentialligningen.

4e^4x -4x-1 = 4e^4x -4x - 1

Svar #4
20. november 2009 af Jone (Slettet)

Når ok. Tusind tak. Det er meget forståeligt..

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.