Matematik
poissonfordelingen
kan nogen hjælpe mig med nogle problemer jeg er stødt på i forbindelse med at jeg har fået til opgave at redegøre for udledningen af formlen for poissonfordelingen ud fra følgende system af differentialligninger (alt nedenfor er direkte skrevet af fra min bog)
P'k(t) = λPk-1(t) - λPk(t), hvor P0(0) = 1 og Pk(0) = 0, k > 0.
ligningerne kan løses rekursivt. for k = 0 har differentialligningen
P'0(t) = -λP0(t), P0(0) = 1 løsningen P0(t) = e-λt. [indtil videre er jeg helt med men fra nu af taber jeg tråden hist og her]
for k > 0 er det bekvemt at betragte fk(t) = eλtPk(t) [hvor kommer det her fra? og hvorfor er det smart?]
dermed f0(t) = 1 [klart nok] og differentialligningen bliver f´k(t) = λfk-1(t), fk(0) = 0. [hvordan er denne ligning bestemt?]
det kan let tjekkes induktivt at løsningen er fk(t) = λktk/k! [hvordan er denne løsning bestemt?]
og dermed Pk(t) = e-λt(λt)k/k! [klart nok]
Svar #1
15. december 2009 af peter lind
Indførslen af fk(t) er smart fordi den giver den simplere ligning, som nævnes længere nede. Du får Pk(t) =e-λtfk(t). Sætter du det ind i differentialligningen for Pk(t) får du differentialligningen længere nede. Jeg aner ikke hvordan løsningen til fk(t) er fremkommet. Et gæt kunne være at en eller andet har regnet de første fk(t) ud og derfra har gættet sig til resten. Det kan også være at man har haft en helt anden og besværligere metode til at løse differentialligningen og så senere har fundet forbedringer. Det væsentlige er at du har fået et facit, som du må bevise.
Svar #2
15. december 2009 af jyden90 (Slettet)
tak for hjælpen. forstår du hvordan udtrykket for f´k(t) er fremkommet?
Svar #3
15. december 2009 af peter lind
Det er en simpel indsættelse i differentialligningen. Pk'(t) = -λe-λtfk(t)+e-λtfk'(t). Jeg ser iøvrigt at jeg fejlagtigt har fået hævet e'et i #1. Jeg håber ikke det har forvirret.
Svar #4
15. december 2009 af jyden90 (Slettet)
altså i P'k(t) = λPk-1(t) - λPk(t),
hvor Pk(t) = e-λtfk(t),
men hvordan finder man Pk-1(t) ?
Svar #5
15. december 2009 af peter lind
Man finder først fk(t) af den simplere formel der kommer frem altså f´k(t) = λfk-1(t), fk(0) = 0
Svar #6
16. december 2009 af jyden90 (Slettet)
hmm kan slet ik se hvordan f´k(t) = λfk-1(t), fk(0) = 0 og har på fornemmelsen det er såresimpelt;(
jeg har fk(t) = eλtPk(t) og hvordan kommer jeg videre herfra til udtrukket for f´k(t) ?
Svar #7
16. december 2009 af jyden90 (Slettet)
forslag: Pk-1(t) = e-λtfk-1(t) således at P´k(t) = λe-λtfk-1(t) - λe-λtfk(t) men hvorfor er nu f´k(t) = λfk-1(t) ?
Svar #8
16. december 2009 af Dynin (Slettet)
#6 f'k(t)=(eλtPk(t))'=λeλtPk(t)+eλtP'k(t)=λfk(t)+eλt(λPk-1(t) - λPk(t))= λfk(t)+(λfk-1(t) - λfk(t))=λfk-1(t)
Svar #9
16. december 2009 af jyden90 (Slettet)
fantastisk, nu sivede den endelig ind, ej hvor dejligt - 1000 tak!!! har du også styr på hvordan man finder udtrykket for fk(t) (fra indlægget)? hva betyder det at det let ka tjekkes induktivt at løsningen er fk(t) = λktk/k! (ligeledes fra indlægget)? [vil det blot sige at man let ka tjekke at fk(t) = λktk/k! er løsningen ved at differentiere udtrykket og se at det passer? for det ville vel betyde at det ik forventes at læseren ka komme frem til udtrykket for fk(t) eller...]
Svar #10
16. december 2009 af peter lind
Du skal først vise at den gælder for k=0. Derefter går du ud fra at den gælder for k. Derefter beregner du ud fra differentialligningen og at den gælder for k hvad den er for k+1 og konstaterer at det stemmer overens med formlen
Skriv et svar til: poissonfordelingen
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.