Matematik

Matematik Opgave

27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

Har fået følgende opgave:

"Der skal fremstilles et vindue af form som et rektangel med en halvcirkel foroven.

a) Hvad bliver vinduets omkreds og areal, hvis rektanglet er 1,00 m bredt og 2,00 m højt?"

Altså så er rektanglets areal jo 2*1 m, men jeg ved jo ikke noget om halvcirklen? Skal jeg mon så bare arealet af halvcirklen som en funktion af x, hvor x er halvcirklens radius, altså:

f(x) = (x^2 * Pi)/2

?

Svar #1
27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

dohhh... bare ignorer ovenstående post...!!!!!

Svar #2
27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

Ok har et lille spørgsmål alligevel:

"Der skal fremstilles et vindue af form som et rektangel med en halvcirkel foroven.

Man vælger imidlertid rektanglets mål, så vinduets omkreds bliver 4,00 m og vinduets areal bliver størst muligt.

b) Bestem dette areal"

Brugbart svar (0)

Svar #3
27. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#2: Arealet A af vinduet må være en funktion af højden h af det rektangulære stykke samt radius r i den halvcirkelformede sektion, dvs.

A(h,r) = 2rh + (pi/2)r^2

Du vil gerne udtrykke A som en funktion af én variabel (fx r).

Vink: Opskriv et udtryk for vinduets omkreds, som jo er 4.00m og brug det.

//Singularity

Svar #4
27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

Hmm er det her så rigtigt:

Y = højde
X = bredde

Omkreds: 2y+2x+pi*½x = 4 <=> y = (4-pi*½x-2x)/2 = 2-pi*1/4x-x

Areal: x*y+½x^2*pi

Jeg skifter så y ud:

x*(2-pi*1/4x-x)+½x^2*pi

Og så har jeg på en eller anden forunderligvis fået at x skal være 0,2971 m (og y dermed 0,953m). Aner bare ikke om det er rigtigt.

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#4: Du har vist glemt en faktor 2 i buelængden af halvcirklen. Jeg går ud fra, at x er radius, mens y betegner højden af den rektangulære del af vinduet.

"Omkreds: 2y+2x+pi*½x = 4 <=> y = (4-pi*½x-2x)/2 = 2-pi*1/4x-x"

Omkredsen af en cirkel med radius x er 2*pi*x. Så dette må være korrekt:

O = 2x + 2y + pi*x = (2+pi)x + 2y = 4.00

hvoraf højden y bliver

y = 2.00 - (1+pi/2)*x

Indsæt dette i

A(x,y) = 2xy + (pi/2)x^2 (jf. #3).

og reducer eventuelt lidt på det. Så har du arealet A som funktion af radius, x, alene.

//Singularity

Svar #6
27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

Nej, x er bredden i i rektanglet, dermed er den vel også "diameteren" i halvcirklen, altså radius må vel være x/2?
Se evt tegningen nedenunder, hvis du kan forestille dig at den øverste del er en halvcirkel :)

.._____
./.....\\
/.......\\
|-------|
|.......|y
|.......|
|_______|
x

Svar #7
27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

ok... det var så lidt fucked up :) nevermind tegningen :P

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

Jeg må vist lige læse ordentligt, hvad du skriver i #4. Du har ikke glemt, at det er en halvcirkel, men du har medregnet vinduesbredden x to gange:

"Omkreds: 2y+2x+pi*½x = 4 (...)"

Halvcirklen erstatter jo 'den øverste bredde'. Så vi har med vinduesbredde x og -højde y, at omkredsen er

O = 2y + x + (pi/2)*x = 2y + (1+pi/2)x = 4.00

hvoraf

y = 2.00 - (1/2 + pi/4)x

Enten bruger du dette eller også kan du benytte #5, hvor x i stedet betegner radius.

//Singularity

Svar #9
27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

Ahh nu er jeg med. Takker.

Svar #10
27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

Lige et andet spørgsmål... Hvis man har en funktion hvor man sætter x til at gå mod en bestemt værdi hvor både tæller og nævner går mod 0, kan man så godt sige at funktionen også går mod 0 i dette punkt, eller er den slet ikke defineret der?

Brugbart svar (0)

Svar #11
27. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#10: Grænseværdibegrebet for såkaldte 0/0-udtryk kan som regel behandles med L'Hôpitals Regel. Uden den pågældende funktion vil jeg ikke udtale mig nærmere derom. Nogle gange har folk glemt at bortforkorte led, som repræsenterer fælles rødder i tæller og nævner, så det reelt er unødvendigt at bruge L'Hôpitals Regel. Tjek lige, at du ikke har begået den fejl, og ellers skriv funktionen ned herinde, hvis du er i tvivl.

//Singularity

Svar #12
27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

Funktionen er følgenden:

g(x) = (3x^2+3x-6)/(-4x^2+4)

hvad hvis man så sætter x til at gå mod 1?

Vi har ikke lært om L'Hospitals regel endnu, så det giver ikke så meget mening for mig :)

Brugbart svar (0)

Svar #13
27. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#12: Du bemærker med det samme, at x=1 er rod i såvel tæller som nævner. Den anden rod i nævneren ses let at være x=-1, hvilket giver faktoriseringen

4 - 4x^2 = -4(x-1)(x+1)

Tjek selv, at det passer. Find den anden rod i tælleren (diskriminanten er positiv) og faktoriser tælleren.

Så kan du bortforkorte en fælles faktor i tæller og nævner. Fortsæt herfra.

//Singularity

Svar #14
27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

Ja det ved jeg godt, det er fordi at jeg skal angive værdimængden for funktionen, og hvilket jeg har sat til at være R\\{-3/4}

Men så tænkte jeg på om g(1) også er med i værdimængden? Altså for hvis man sætter 1 ind i funktionen så er både tæller og nævner lig med nul, altså står der 0/0, er det så bare lig 0 eller hvad :S

Brugbart svar (0)

Svar #15
27. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#14: Nej. Diskriminanten hørende til tælleren er

D = 3^2 - 4*3*(-6) = 81

så rødderne må være

x = ((-3)+/-sqrt(81))/(2*3) = (-1/2)+/-3/2

altså x = -2 og x = 1. Faktorisering af tælleren giver

3x^2 + 3x - 6 = 3(x+2)(x-1)

Derfor er

(3x^2+3x-6)/(-4x^2+4) = 3(x+2)(x-1)/(-4(x+1)(x-1)) = 3(x+2)/(-4(x+1))

så

g(x) = -3(x+2)/(4(x+1))

og funktionen g har da bestemt en grænseværdi for x->1. g er kun udefineret i x = -1.

Det er korrekt, at værdimængden for g er

R\\{-3/4}

hvilket naturligvis kræver et argument.

//Singularity

Svar #16
27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

Ok, jeg har skrevet at grunden til at -3/4 ikke er med er fordi at y = -3/4 er en vandret asymptote, altså nærmer funktionen sig denne værdi, men når den aldrig, derfor er den værdi ikke med i værdimængden.

Brugbart svar (0)

Svar #17
27. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#16: Korrekt, og så lige et par argumenter for, at

g(x) -> inf for x -> (-1)-

g(x) -> -inf for x -> (-1)+

samt et kort argument for, at g er kontinuert i ethvert punkt på nær x = -1. Hvis du argumenterer derfor, kan du med rette slutte, at V_g = R\\{-3/4}.

inf: infinity (uendelig)

//Singularity

Svar #18
27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

Men nu bliver jeg da helt i tvivl mht definitionsmængden som jeg også skal angive. Jeg har skrevet at det er R\\{1,-1} , men er det nu også rigtigt?

Svar #19
27. januar 2005 af Peter H (Slettet)

d'uh, sprang vist lige noget over i #15... nvermind

Svar #20
29. januar 2005 af Peter H (Slettet)

Hmm, har fået opgaven tilbage nu.

Dm(f) var tilsyneladende R\\{-1,1} og Vm(f) er R\\{-3/4,-8/9}.

Forrige 1 2 Næste

Der er 25 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.