Omskrivning af løsning til homogen lineær andenordensdifferentialligning

Definer c= kvrod(c₁²+c₂²). Du kan nu definere en vinkel ved u ved sin(u)=c₁/c, cos(u)=c₂/c. Indsat får du så løsningen y =C*e^kx(sin(u)cos(wx)+cos(u)sin(wx)) =  C*e^kxsin(wx+u)

Tusind tak for hjælpen! Imidlertid er jeg løbet ind i et andet problem som jeg håber at jeg også kan få hjælp til.

Jeg har lavet forsøg med et lod ophængt i en fjeder. Jeg skal så redegøre for hvordan svingningstiden for en dæmpet harmonisk svingning afhænger af fjederkonstanten og loddets masse. Er denne sammenhæng den samme som for en udæmpet harmonisk svingning eller er den mere indviklet?

Det er den ikke. Du skal løse den tilsvarende andenordens  differentialligning for at finde det.

f(x) = e^-kx·(c₁·cos(ω·x) + c₂·sin(ω·x)) = e^-kx·A·sin(ω·x+φ) = Ae^-kx·sin(ω·x+φ)                            

som anvist i #1 men med e^-kx

....................................

omskrivningsdetaljer
se

Peter Lind jeg er ikke helt med på hvad du mener? Jeg har jo netop løst den andenordensdifferentialligning, der beskriver en dæmpet svingning?

Forresten tak for svaret mathon. Super god hjælp :)

du havde ikke løst den helt rigtigt

lad os tage den karakteristiske ligning
på formen
                         r² + 2p·r + ω² = 0
med rødderne
                         r = -p ± √(p²-ω²)                 som med ω>p
giver
                         r = -p ± i√(ω²-p²)
dvs
med den fuldstændige differentialligningsløsning

                 f(t) = C₁·e^{(-p + i√(ω²-p²))·t} + C₂·e^{(-p - i√(ω²-p²))·t}
           
                 f(t) = C₁·e^-pt·e^{i√(ω²-p²)·t} + C₂·e^-pt·e^{-i√(ω²-p²)·t}

                 f(t) = e^-pt[C₁·e^{i√(ω²-p²)·t} + C₂·e^{-i√(ω²-p²)·t}]

                 f(t) = e^-pt[C₁(cos(√(ω²-p²)·t)+i·sin((√(ω²-p²)·t) + C₂(cos(-√(ω²-p²)·t)+i·sin((-√(ω²-p²)·t)]

                 f(t) = e^-pt[(C₁+C₂)·cos((√(ω²-p²)·t) + (C₁-C₂)i·sin((√(ω²-p²)·t)]   

                 f(t) = e^-pt·(c₁·cos((√((ω²-p²)·t) + c₂·sin((√(ω²-p²)·t))

                 f(t) = e^-pt·A·sin(√((ω²-p²)·t)+φ)

                                              f(t) = Ae^-pt·sin(√((ω²-p²)·t)+φ)

..........................

anvendt er bl.a.:
                      cos(-x) = cos(x)
                      sin(-x) = -sin(x)
                      c₁ = (C₁+C₂)
                      c₂ = (C₁-C₂)i                       bemærk forskellen på store og små "c"
                      A = √(c₁² + c₂²)
                      φ = tan^-1(c₂/c₁)

Jeg har vist fået løst problemet. Tusind tak.

Lige et sidste spørgsmål: Hvilken enhed har dæmpningskonstanten?

hvis du med dæmpningskonstanten
mener
                   1)   p i e^-pt er enheden s^-1

                   2)   e^-pt er den ubenævnt