Fuldstændigt bevis for differentialkvotienten for X^a

Jeg vil bevise differentialkvotienten for x^a. Dette bevis gør brug af differentialkvotienterne for e^x og ln(x)

Vi skriver x^a = e^a·ln(x) (*) og differentierer mht. x på begge sider:

(x^a)' = (e^a·ln(x))'.

I det følgende udregner vi så højresiden i ligningen.

(e^a·ln(x))'

= e^a·ln(x)·(a·ln(x))' [differentiation af sammensat funktion, samt differentialkvotienten til e^x]

= e^a·ln(x)·a/x  [differentialkvotienten til ln(x)]

= x^a·a/x [brug af identiteten (*)]

= a·x^a-1 [brug af potensregneregler]

Vi konkluderer, at (x^a)' = a·x^a-1.

For at udlede differentialkvotienten til e^x, anvender vi definitionen af differentialkvotient:

(e^x)' = lim[h --> 0] (e^x+h-ex)/h

= lim[h --> 0] (e^xe^h-e^x)/h (potensregneregler)

= lim[h --> 0] (e^x(e^h-1))/h (fælles faktor udenfor parentes)

= e^x lim[h --> 0] (e^h-1)/h (konstant tages udenfor -- ift. h er e^x konstant)

For meget små h er (e^h-1)/h omtrent lig h, og vi konkluderer, at lim[h --> 0] (e^h-1)/h = 1.

Således får vi

(e^x)' = e^x.

Ud fra lim[h --> 0] (e^h-1) = h observerer vi også, at e = lim[h --> 0] (h+1)^1/h.

Vi udleder nu differentialkvotienten til ln(x) ved brug af definitionen:

(ln(x))' = lim[h --> 0] (ln(x+h)-ln(x))/h

= lim[h --> 0] (1/h)·ln((x+h)/x) [logaritmeregneregler]

= lim[h --> 0] ln((1+h/x)^1/h) [mere logaritmeregneregler]

= lim[h --> 0] ln(((1+h/x)^x/h)^1/x)  [potensregneregler]

= lim[h --> 0] (1/x) ln( (1+h/x)^x/h) [logaritmeregneregler igen]

= (1/x)·ln( lim[h --> 0] (1+h/x)^x/h ) [konstant tages udenfor og vi bytter om på ln og lim]

Lader vi nu h/x gå mod 0, istedet for h, får vi lim[h/x --> 0] (1+h/x)^x/h = e, og da ln(e) = 1, konluderer vi, at

(ln(x))' = 1/x.

Jeg synes ikke, at jeg har forklaret det sidste skridt godt nok, så jeg vender tilbage.

 Et andet sjovt bevis for (x^a)' = a·x^a-1 er som følger. Det gælder dog kun for naturlige tal a ∈ N.

Definitionen for differentialkvotienten:

Anvendelse af binomialformlen giver

i = a leddet i summen kan tages ud, således:

Et h kan faktoriseres ud af hvert led i summen, så at vi får;

Vi observerer, at for i < a-1 er a-i-1 > 0, således at de led går mod 0 for h gående mod 0. For i = a-1 er a-i-1 = 0. Således står vi tilbage med

Udregning af binomialkoefficienten giver

Således har vi, at

og vi har bevist, at (x^a)' = a·x^a-1 for alle naturlige tal a.

Jeg vil takke Wikipedia for hjælpen.

Mange tak skal du have for hjælpen :)