Matematik
Ekstremum - randundersøgelse?
Hej
Jeg skal forsøge at løse denne opgave, men kan ikke huske hvordan jeg gør!
Der er givet en funktion: f(x, y) = x*y2 + x2*y2 og et område R = {(x, y) | − 2 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 2}
(a) Bestem den absolutte maksimumsværdi og den absolutte minimumsværdi af funktionen
f(x, y) på området R.
(b) I hvilket punkt, eller i hvilke punkter, i R antages den absolutte minimumsværdi?
(c) I hvilket punkt, eller i hvilke punkter, i R antages den absolutte maksimumsværdi?
Jeg har snart brugt 2 dage på denne opgave, men må sande, at jeg ikke kan huske det :-(
Jeg er kommet frem til, at det kritiske punkt må ligge i (-1/2,0), men derfra kommer jeg ikke meget længere, er det ikke noget med, at jeg skal lave en randundersøgelse? - hvis det er tilføldet, vil i så forklare, hvordan jeg gør det?
Jeg harogså forsøgt med maple, men også uden held...
På forhånd tak :-)
Svar #1
09. januar 2010 af peter lind
Randundersøgelsen betyder at du skal finde maksimum eller minimum for x=-2, x=2, x=y, og y=2. Hver af dem giver en funktion a en variabel, hvor du kan finde ekstremaer på sædvanlig måde.
b) og c) Du skal løse det sammenhørende ligningssystem ∂f/∂x=0 og ∂f/∂y=0. Lokale maksima og lokale minima må befinde sig mellem disse løsninger. Derefter skal du sammenligne resultatet fra a).
Svar #2
09. januar 2010 af Sovsehjerne (Slettet)
#1
Randundersøgelsen betyder at du skal finde maksimum eller minimum for x=-2, x=2, x=y, og y=2. Hver af dem giver en funktion a en variabel, hvor du kan finde ekstremaer på sædvanlig måde.
b) og c) Du skal løse det sammenhørende ligningssystem ∂f/∂x=0 og ∂f/∂y=0. Lokale maksima og lokale minima må befinde sig mellem disse løsninger. Derefter skal du sammenligne resultatet fra a).
Ideen er god nok, men specifikationen af randen er fejlbehæftet.
Randen kan parametriseres som
1.
t→(-2,t) for -2≤t≤2
2.
t→(t,2) for -2≤t≤2
3.
t→(t,t) for -2≤t≤2
Svar #3
09. januar 2010 af Sovsehjerne (Slettet)
Jeg når frem til der er uendelig mange kritiske punkter, hvoraf det du har fundet, blot er et.
Ligningssystemet
∂f/∂x=0
∂f/∂y=0
kan efter reduktion skrives som
y(1+2x)=0
xy(1+x)=0
Benytter man nu det faktum at de reelle tal er et integritetsområde (nulreglen blandt venner), kommer man frem til, at ethvert punkt på formen (x,0) er et kritisk punkt.
Svar #4
09. januar 2010 af Sovsehjerne (Slettet)
Maple kan også bruges til samme analyse:
f:=(x,y)->x*y^2+(x*y)^2:
solve({D[1](f)(x,y)=0,D[2](f)(x,y)=0},{x,y});
Svar #5
11. januar 2010 af mattonia (Slettet)
Jeg har vedhæftet opgaven, som jpeg billede, her fremgår også svar, men desværre ikke mellemregninger
Skriv et svar til: Ekstremum - randundersøgelse?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.