Hjælp til en afleveringsopgave.

1) Bestem en normalvektor til planen. Det er krydsproduktet mellem to vektorer, der ligger i planen, fx AB og AC. Ligningen for en plan er a*x + b*y  + c*z + d = 0, (a,b,c) er normalvektoren. Bestem nu d ved at indsætte et punkt samt den fundne normalvektor.

2) Bestem den spidse vinkel mellem en normalvektor til alfa og en normalvektor til yz-planen.

3) Punktet ligger i yz-planen. Det har samme y-koordinat som C. Dvs. at D har koordinaterne (0,5,z), hvor vi så mangler at bestemme z. Resultatet fra 2) kan nok bruges her.

4) Hvad ved du om sammenhængen mellem areal og determinanter?

5) Vinkel mellem vektorer.

1) n=(5,3,5) så planens ligning er: 5(x-1)+3(y-0)+5(z-0)=0⇔5x+3y+5z-5=0

2) øhh? Så jeh skal bestemme den spidse vinkel mellem n=(5,3,5) og (0,3,5)?

3) pas :-(

4) at arealet er givet ved ½·determinanten?

5) også pas!

Jeg hader det her! Jeg kan jo ikek finde ud af noget af det!

Jeg bare gerne have en til at hjælpe mig igennem det! Jeg lærer jo ikke ikke noget som helst hvis jeg bare sidder og kigge rpå og ikke aner hvad jeg skal? Så hvis en elelr anden kunne guide mig lidt?

1) n er korrekt. (1,0,0) er dog ikke et punkt i planen. Den korrekte ligning er 5x + 3y + 5 z - 20 = 0.

2) En normalvektor til yz-planen er (1,0,0), så du skal bestemme vinkelen mellem (5,3,5) og (1,0,0). Du kender formelen for den spidse vinkel mellem to vektorer.

Hvordan ved du at en normalvektor til yz-planen er (1,0,0)? (vil bare gerne vide det til en anden gang:-)

Forresten så gar jeg lige regnet videre og får nu:

1) 5x + 3y + 5 z - 20 = 0.

2) 40,61 idet jeg får 49,39 og trækker dette fra 90.

3) Du skal bestemme z-koordinaten for D. C projiceres på y-aksen; vi kalder punktet for M. Trekanten CDM er retvinklet. CM har længden 1. Den spidse vinkel mellem DC og DM har du fra opgave 2); kald den v. Cosinusrelationen for retvinklede trekanter giver nu cos(v) = |CM|/|DM| = 1/|DM| ⇔ |DM| = 1/cos(v). Detter er så z-koordinaten til D.

4) Du ved, at arealet af det parallelogram, som to vektorer udspænder, er lig den numeriske værdi af determinanten mellem vektorerne.

5) Vinkel A findes som vinkelen mellem vektor AB og vektor AD, vinkel B som den spidse vinkel mellem BA og BC. På samme måde med de andre vinkler.

Vinkelen v mellem to vektorer, AB og AC, er givet ved

Normalvektor til yz-planen er en vektor, der står vinkelret på yz-planen.

Det er måske nemmest at starte med at forestille sig xy-planen, som er vandret. Forestil dig en græsplæne med en flagstang. Flagstangen står vinkelret på græsplænen, og er således normalvektor til den. Lad os sige, at bunden af flagstangen har koordinaterne (1,1,0). Flagstangen er 1 meter høj, dvs. at toppen af den har koordinaterne (1,1,1). Flagstangen kan også repræsenteres af vektoren (1,1,1) - (1,1,0) = (0,0,1).

Forestil dig nu, at yz-planen er græsplænen. Så har bunden af flagstangen koordinaterne (0,1,1) og toppen koordinaterne (1,1,1). Flagstangen repræsenteres nu af vektoren (1,1,1) - (0,1,1) = (1,0,0).

Er det lidt klarere for dig nu?

#8

Ja! Tusind tak! Tænk at du gider at bruge så langt tid på at forklare det, folk vilel normalt bare have droppet det..

Hmm jeg tænkte lidt på om du ikek bare kunne ligeg facit her op (altså uden udregninger) så jeg bare kan regne løs indtil jeg finder det rigtige?

 Jo, lad mig gøre det...

1) 5x + 3y + 5z - 20 = 0

2) 49.39 grader -- exakt er vinkelen cos^-1((√59)/5)

3) D(0,5,0.857) -- exakt er z-koordinaten 5/(√34)

4) Areal = 13.14 -- exakt er Areal = 14 - 5/(√34)

5) vinkel A = 67.9 grader, vinkel B = 111.3, vinkel C = 70.4, vinkel D = 110.3

 I 3) sagde jeg forkert - det er tangensrelationen, der skal anvendes, hvis resultatet fra 2) skal anvendes direkte.

En rettelse mere. Jeg har beregnet z-koordinaten til D forkert. Det korrekte tal er 1. Da vi kender både x- og y-koordinaten til D, indsætter vi dette i ligningen for planen, og får en ligning med z som den ubekendte. Efter indsættelse får vi -5+5z=0 ⇔ z = 1. Således har D koordinaterne (0,5,1). Det giver også andre resultater for arealet og vinklerne. De korrekte facit er så

1) 5x + 3y + 5z - 20 = 0

2) 49.39 grader -- exakt er vinkelen cos^-1((√59)/5)

3) D(0,5,1)

4) Areal = 13

5) vinkel A = vinkel C = 68.7 grader, vinkel B = vinkel D = 111.3.

Undskyld misforståelsen.

Ok så årøve rjeg lige igen:

3) Ved brugen af indskudssætningen har jeg at:

OD=OA+AD⇔OD=OA+BC⇔OD=(0,0,4)+(0,5,-3)=(0,5,1) (idet AD=BC?)

4) kan ikke lige gennemskue udregningen her! :-s

5) jeg finder vinklen mellem BA og BC som giver 111,33 og i et paralleogram er vinklen tværs over den samme, så jeg har at (111,33*2)/2=vinkel A og B?

3) Meget fint!

4) Se her.

5) Ja, vinkel A = vinkel C = 111,33. Vinkel B og D er så (360 - 2*111,33)/2 = 180 - 111,33 = 68.67.

hmm er det ikke BCxDC? Det giver sqrt(59)

Don't you dare to die on me sigmund, you hear!? :-D

 Jo, du har ret! Har helt misfortolket det, der stod på Wiki! Arealet af et parallelogram er længden af krydsproduktet mellem to vektorer, der udspænder det. Så du har ret: A = sqrt(59). Undskyld igen!

God humor ellers! :D