Matematik
Randundersøgelse
Så vidt jeg har forstået, skal man, når funktionen er defineret på en kompakt mængde, ikke kun undersøge funktionens indre men også randen for ekstremumspunkter.
Imidlertid synes jeg ikke, at min bog giver et specielt godt råd til, hvordan man skal regne eller skrive en sådan opgave op. Så nu har jeg prøvet selv, men jeg ville blive glad, hvis der var en, der kunne fortælle mig, om min besvarelse er tilfredsstillende.
Find maksimums- og minimumspunkter for f(x,y) defineret over områderne bestemt af ulighederne.
a) f(x,y)=x3+y3-9xy+27 når 0≤x≤4, 0≤y≤4
Først bestemmes de stationære punkter (kritiske punkter) inde i mængden ved at finde de første afledede:
f'1(x,y)=3x2-9y=0
f'2(x,y)=3y2-9y=0
Herved fås, at f har stationære punkter for:
x=0 Λ y=0 (som ligger på randen), x=3 Λ y=3
Ifølge ekstremværdisætningen eksisterer der både et maksimum og et minimum. Imidlertid kan disse også ligge på randen, hvor følgende punkter optræder:
(0;0), (0;4), (4;0), (4;4)
Ved at beregne funktionsværdierne for de 5 punkter
f(0,0)=03+03-9*0*0+27=27
f(0,4)=03+43-9*0*4+27=91
f(4,0)=43+03-9*4*0+27=91
f(3,3)=33+33-9*3*3+27=0
f(4,4)=43+43-9*4*4+27=11
ses det, at maksimum findes i punkterne på randen (4,0) og (0,4) med funktionsværdien 91, mens minimum findes i punktet (3,3) i mængden med funktionsværdien 0.
Svar #1
17. januar 2010 af sigmund (Slettet)
Ja, det ser fint ud. Ligner meget opsætningen i diverse gennemregnede lærebogseksempler.
Svar #2
17. januar 2010 af Exupery (Slettet)
Cool nok! Så er jeg på rette vej. Ikke helt i mål endnu dog..
Jeg regnede en anden opgave med samme fremgangsmåde, men her for jeg ikke det rette resultat.. Kan du eventuelt se, hvor min fejl ligger?
Find maksimums- og minimumspunkter for f(x,y) defineret over områderne bestemt af ulighederne.
a) f(x,y)=x2+2y2-x når x2+y2≤1
Først starter vi med at finde de kritiske punkter inde i mængden ved de første afledede (standardmetode):
f'1(x,y)=2x-1=0 => x=1/2
f'2(x,y)=4y=0 => 0
Vi ser altså, at der kun findes ét kritisk punkt i mængden, nemlig P(1/2;0). Funktionsværdien for dette kritiske punkt findes ved:
f(1/2,0)=(1/2)2+2*02-1/2=-1/4
Igen ved vi ifølge ekstremværdisætningen, at der i kompakte mængder eksisterer både et maksimum og et minimum, men at disse kan ligge på randen, hvorfor vi naturligvis også undersøger denne.
Først omskriver vi ligningen:
f(x,y)=(x2+y2)+y2-x=1+y2-x
og vi ser, at der for x og y måde gælde, at de ligger i intervallet I=[-1,1], når de befinder sig på randen til cirklen.
Det giver altså følgende punkter:
(-1;-1), (-1;1), (1;-1), (1;1)
Ved at beregne funktionsværdierne for de fundne punkter
f(-1,1)=1+(-1)2-(-1)=3
f(-1,1)=1+12-(-1)=3
f(1,1)=1+(-1)2-1=1
f(1,1)=1+12-1=1
ses det, at maksimum findes på randen i punkterne (-1;-1) og (-1;1) med funktionsværdien 3, og at minimum findes i mængden i punktet (1/2;0) med funktionsværdien -1/4.
-------------------------------------------
Dette er dog ikke korrekt ifølge facitlisten, der får maksimum i 9/4 i punktet (-1/2,√3/2) og i (-1/2;-√3/2), mens minimum er, som jeg fandt, i -1/4 i punktet (1/2;0).
Som jeg frygtede, er det altså randundersøgelsen, der volder mig problemer. Men jeg må ærligt indrømme, at jeg ikke lige kan se, hvordan jeg skal kunne få facitlistens tal - selv ikke nu, hvor jeg kender svarerne.
Svar #3
17. januar 2010 af sigmund (Slettet)
Parametriser randen: (cos(t),sin(t)), 0<=t<=2*pi.
Sæt dette ind i f(x): cos2(t)+2sin2(t)-cos(t) = sin2(t) - cos(t).
Differentier mht. t og sæt lig 0: 2sin(t)*cos(t) + sin(t) = 0 ⇔ 2*cos(t)+1 = 0 ⇔ cos(t) = -1/2 ⇔ t = ±2π/3.
Dette giver punkterne (-1/2,±√3/2).
Svar #4
18. januar 2010 af Exupery (Slettet)
Smart! Den metode har vi aldrig lært. Men jeg formoder, at jeg så kan regne med, at vi ikke får den slags opgaver til eksamen på dette semester. Måske en af typen som i #0 dog.
Tak for hjælpen!
Skriv et svar til: Randundersøgelse
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.