Matematik

Løsning til differentialligning

20. januar 2010 af reol32 (Slettet)

Hejsa

Jeg har lidt problemer med denne opgave.

Angiv den løsning f til differentialligningen

y' / y=2x-1

for hvilken f(1)=3

Så vidt jeg kan komme frem til bygger den på formen y'+ay=h(x) hvor den fuldstændige løsning er y=e^-ax*integral(h(x)*e^ax)dx - dette er jeg dog ikke sikker på.

Jeg har prøvet at omskrive differentialligningen til y'+1y=2xy, men jeg kan ikke få det til at passe.

Nogen der har et bud?

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. januar 2010 af mathon

y = Ce^{x^2-x}

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. januar 2010 af sigmund (Slettet)

Skriv differentialligningen som

(1/y) dy/dx = 2x-1 ⇔ (1/y) dy = (2x-1) dx

Integrer på begge sider:

∫ (1/y) dy = ∫ (2x-1) dx ⇒

ln(y) = x² - x + k ⇔

y = e^{x^2-x+k} = Ce^{x^2-x}.

Konstanten C bestemmes vha. betingelsen y|_x=1 = 3:

C = y/e^{x^2-x} = 3/e^{1^2-1} = 3/e⁰ = 3.

Svar #3
21. januar 2010 af reol32 (Slettet)

Mange tak for svaret :), men der er lige en ting jeg ikke forstår. Hvorfor forsvinder k og bliver erstattet af c her: y = ex^2-x+k = Cex^2-x.

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. januar 2010 af mathon

da
ln(y) = x2 - x + k

kan skrives

ln(y) = x² - x + ln(C)

ln(y) - ln(C) = x² - x

ln(y/C) = x² - x

y/C = e^{x^2 - x}

y = Ce^{x^2 - x}

Svar #5
21. januar 2010 af reol32 (Slettet)

Hvordan ved du at ln(C) er det samme som k?

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. januar 2010 af mathon

det skal blot være en integrationskonstant,
som du kan skrive som du har lyst til

hvis du skriver k og jeg skriver ln(C)
får vi jo ved koordinatindsættelse

k = ln(C)

I netop ovenstående sammenhæng er ln(C) mere logaritmisk praktisk

Skriv et svar til: Løsning til differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.