Tangent og optimering

f(x) = y = -ln(x)+e^x , x∈R₊

f '(x) = -(1/x) + e^x

^{......................}
TI-89:
Define f(x) = -ln(x)+e^(x)
     f(2)

Define g(x) = d(f(x),x)

tangentligning i (2,f(2))

expand(solve(y=g(2)·(x-2)+f(2),y))

Hvordan får man den der e^x funktion til at virke på en casio lommeregner?

f '(2) = -(1/2)+e²

f(2) = -ln(2)+e²

tangentligning i (2,f(2))

        y = f '(2)(x-2) + f(2)

        y = (-(1/2)+e²)·(x-2) + (-ln(2)+e²)

        y = (-(1/2)+e²)·x + 1 + 2e² + e² - ln(2)

        y = (-(1/2)+e²)·x + (1+3e²-ln(2)) ≈ -7,89x + 22,47

Det der TI-89 hvad mener du med det ? Er det på en anden lommeregner?

Opgave 2

Kassens bredde kaldes x, dens længde er da 1,6x, og lad højden være h. Kassens volumen er da

V = l b h = 1,6 x² h = 150, hvoraf vi finder

h = 150/(1,6 x²) = 93,75 / x²

Kassens overflade areal er det samlede areal af de 6 sideflader:

A = 2(l b + l h + b h) = 2(1,6 x² + 150/x + 93,75/x) = 3,2 x² + 487,5/x

Vi søger nu x således at A er mindst muligt, dvs vi skal løse ligningen dA/dx = 0. Ved differentiation af A får vi

dA/dx = 6,4 x -487,5/x² = 0 ,

hvoraf

x³ = 487,5/6,4 = 76,17188,

og dermed

bredde x = (76,17188)^1/3 = 4,239
længde = 1,6 x = 6,782
højde = 93,75/x² = 5,217
min A = 172,505
volumen V = 150

Tusind tak

 Jeg har bemærket at alle her glemmer at kassen er åben - dvs. at der ikke kun er 2 af hver side men 4, da overfladearealet vel også gælder for det indvendige i kassen. 

#7

Du har ret i, at det blev overset i #5, at kassen er uden låg. Dog vil i den slags opgaver ikke regne med et indvendigt overfladeareal, da formålet med den slags opgaver vel er at bestemme kassens dimensioner for det givne rumfang og med det mindst mulige materialeforbrug.

Med dette i betragtning, bør #5 så rettes til følgende:

Opgave 2

Kassens bredde kaldes x, dens længde er da 1,6x, og lad højden være h. Kassens volumen er da

V = l·b·h = 1,6·x²·h = 150, hvoraf vi finder

h = 150/(1,6·x²) = 93,75 / x²

Kassens overflade areal er det samlede areal af de 4 sideflader samt bunden:

A = l·b + 2·l·h + 2·b·h = 1,6·x² + 2·150/x + 2·93,75/x) = 1,6·x² + 487,5/x

Vi søger nu x således at A er mindst muligt, dvs vi skal løse ligningen dA/dx = 0. Ved differentiation af A får vi

dA/dx = 3,2·x -487,5/x² = 0 ,

hvoraf

x³ = 487,5/3,2 = 152,3438 ,

og dermed

bredde x = (152,3438)^1/3 = 5,341
længde = 1,6·x = 8,545
højde = 93,75/x² = 3,287
min A = 136,9171
volumen V = 150

Hej
Jeg forstår ikke rigtig hvordan du har fundet mindste arealet? Hvordan har fået det til at give 136,9? Og hvorfor skriver du dette: x = (152,3438)1/3??

a)

 En kasse uden låg

                                   
a) Bestem kassens overfladeareal som funktion af x, når x er kassens bredde, målt i dm,

b)
 Bestem kassens bredde, længde og højde, således at overfladearealet bliver mindst muligt.
 

ekstremum
kræver:
                                    

fortegnsvariation for
                                         -             0          +
                                          0_________    x_o_________
                                                                                                              
monotoni for 
                                  aftagende   min   voksende

                           

                   bredde:  

                   længde: 

                   højde: