Differentialligninger

vha "Separation af variable".


Duffy

Tja, her er separation af variable til ingen nytte. Men der findes en anden måde at håndtere sådanne lineære differentialligninger på.


Den lineære 1.ordens differentialligning

dy/dx = a(x)*y + b(x) (1)

hvor a,b er funktioner af x alene, kan behandles som følger:

1) Bestem en stamfunktion A til a;

A(x) = int[a(x)dx]

2) Bestem en stamfunktion B til funktionen b(x)*exp(-A(x));

B(x) = int[b(x)*exp(-A(x))dx]

3) Den fuldstændige løsning til (1) er da givet ved

y(x) = [C + B(x)]*exp(A(x))

hvor C er en arbitrær integrationskonstant, som kan fastlægges entydigt ved at introducere en begyndelsesbetingelse, fx at y(0) = 3.


Nuvel, lad os prøve den foreliggende opgave i dit indlæg;

1) Vi ser, at a(x) = -2 og b(x) = 3x. Dermed er

A(x) = int(-2dx) = -2x

2) Vi har

b(x)*exp(-A(x)) = 3x*exp(2x)

og dermed ved partiel integration, at

B(x) = int[3x*exp(2x)dx] = 3/2*x*exp(2x) - 3/2*int[exp(2x)dx] = 3/2*x*exp(2x) - 3/4*exp(2x)

eller, hvad der er det samme;

B(x) = exp(2x)*[3/2*x - 3/4]

3) Den fuldstændige løsning er så

y(x) = [C + [3/2*x - 3/4]exp(2x)]*exp(-2x) = C*exp(-2x) + 3/2*x - 3/4

At dette virkelig er en løsning ses ved differentiation;

dy/dx = -2C*exp(-2x) + 3/2 = 3x - 2*[C*exp(-2x) + 3/2*x - 3/4] = 3x - 2y

hvorved opgaven er løst.

//Singularity