Funktionsundersøgelse

Diskriminanten til f '  er negativ

Ahh, og derfor har funktionen altså kun et nulpunkt?

hvis du sætter f'(x) = 0   og prøver at løse den andengradsligningen, der fremkommer af det:  

3x² - 2x + 2 = 0   hvor diskriminaten d = b² - 4ac = (-2)² - 4·3·2 = 4 - 24 = -20 (negativ) sammenholdt med at a = 3 er større end nul (positiv), kan udledes, at grafen for f'(x) - der står altså f-mærke - vender "benene opad" og ikke har nogle rødder, da diskriminaten d er negativ, hvilket betyder, at grafen for f' er over x-aksen i hele definitionsmængden .

Alt dette betyder, at grafen for f(x) kun er stigende i hele sin definitionsmængde og et nærmere kik på forskriften afslører hurtigt, at f(1) = 0 dermed har du vist bevist, at grafen for f kun har ét nulpunkt.

vedr. f(1) = 0:

f(x) = x³ - x² + 2x - 2    <=>    f(1) = 1³ - 1² + 2·1 - 2   <=>  f(1) = 1 - 1 + 2 - 2 = 0
 

Når diskriminanten er negativ har 2.gradspolynomiet ingen reelle løsninger. Derfor er der ingen lokale maksimum eller minimum. Og derfor kan der højst være 1 nulpunkt. Om det er der undersøges ved at sige:

f(x) = 0    <=>    x^3-x^2+2x-2 = 0        =>     x = 1

(dvs. 0-punkt i (1,0) )

Længere nede bliver jeg så bedt om at benytte omskrivningen i opgave b, f(x) = (x-1)(x²+2), til at forklare, at der kun er én løsning til ligningen f(x) = 0.

Skal jeg så ikke bare sætte f(x) = 0 og vise, at ligningen f(x) = 0 kun har løsningen x = 1?