Optimering: Popcorn

Prøv at opstille en formel for rumfanget,

løs ligningen med hensyn til h eller r:

1/3*h*A = 2

indsæt h eller r i formlen for overfladen

prøv at plotte grafen og find ud af hvornår den har mest rumfang (Undersøg toppunktet)

Hvis der skal bruges mindst muligt pap til overfladen, så er det arealet af keglen, der skal være mindst.

Men du kan i hvertfald sætte rumfang = 0,002 m^3, så:

0,002 = 1/3*h*pi*r

Og så tror jeg du skal bruge en formel for arealet også

Hvis man skærer kræmmerhuset op, ser man at overfladen af kegledelen udgør en sektor af en cirkel med radius R=√(h²+r²) og sektoromkreds 2πr (keglegrundfladens omkreds). Idet keglegrundfladen er åben, er kræmmerhusets overfladeareal da

K = πR² •2πr / (2πR) = πRr = πr√(h²+r²), og voluminet er

V = 1/3 h πr² = V₀ , hvor V₀ er det forlangte volumen på 2 liter. Nu udtrykker vi r² ved hjælp af V₀ og h:

r² = 3V₀/(πh)

og indsætter det i udtrykket for overfladearealet:

K = πr√(h²+r²) eller

K² = π²r²(h²+r²) = π² 3V₀/(πh) (h² + 3V₀/(πh)) = 3V₀/h (πh² + 3V₀/h) .

Vi finder nu minimum for K² ved at løse ligningen

dK²/dh = 0 , der fører til ligningen

h³ = 6V₀/π , altså

h = (6V₀/π)^1/3 , dvs

h = 15,63 cm , og dermed

r = √(3V₀/(πh)) = 11,05 cm

Tusinde tak!!