Hvorfor får jeg negativt fortegn?

Det er fordi cos(t) er en aftagende funktion i intervallet [0; π] . Den går fra 1 til -1 i intervallet og arealformelen forudsætter den går omvendt.Du skal altså skifte fortegn. I Intervallet [π; 2π] er cos(t) voksende, så der skal du ikke skifte fortegn.

Mange tak Peter. Den er jeg helt med på nu :D

Hvordan kontrollerer jeg forresten om mit facit er korrekt?

Brug et CAS værktøj til at regne det ud.

Hvad tænker du på!?

Er kun i besiddelse af MathCad - ved ikke om du kender det. Ville bare være rart at kunne kontrollere sine resultater, da jeg laver en del af samme type

Jeg har kun hørt om MathCad, og det jeg har hørt om det er godt. Det burde kunne udegne de integraler.

Arealet A af den lukkede kurve med parameterfremstillingen

r(t) = (cost ; e^sint) , 0 ≤ t ≤ 2π

kan også beregnes ved hjælp af en formel, der summerer de arealer, som radius-vektor overstryger. Vi skal her bruge

r'(t) = (-sint ; cost e^sint) og får nu

A = 1/2 ∫^2π₀ (x(t)y'(t)-y(t)x'(t)) dt

   = 1/2 ∫^2π₀ (cos²t + sint) e^sint dt = A₁ + A₂ .

Vi betragter først

A₁ = 1/2 ∫^2π₀ cos²t e^sint dt

     = 1/2 ∫^π₀ cos²t e^sint dt + 1/2 ∫^π₀ cos²t e^-sint dt

     = ∫^π₀ cos²t cosh(sint) dt

     = 2 ∫^π/2₀ cos²t cosh(sint) dt     (brug nu subst. x = sint , dx = cost dt , dt = dx/√(1-x²)

     = 2 ∫¹₀ √(1-x²) cosh(x) dx         ( nu indsætter vi potensrækken for cosh(x) )

     = 2 ∫¹₀ √(1-x²) ∑^∝₀ x²ⁿ/(2n)! dx

     = π/2 ∑^∝₀ 1/(2²ⁿ (n+1)! n!) = 1,130318•π/2

Den uendelige række konvergerer meget hurtigt (led op til n=5 er tilstrækkeligt til 10 decimaler).

Pudsigt nok kan man ved tilsvarende betragtninger vise, at A₂ = A₁ .

Det samlede areal af den lukkede kurve er da

A = π ∑^∝₀ 1/(2²ⁿ (n+1)! n!) = 1,130318•π = 3,550999