hvor stor er chancen

Hint:

Brug binomialformlan. Ved et kast med to terninger er der 6*6 = 36 forskellige udfald, hvoraf hændelsen (3,6) og hændelsen (6,3) er to af dem. De andre udfald kan du blot kalde (x,y). Da de har samme sandsynlighed for at komme ud, nemlig 34:36 eller 17:18. Så start med at skrive hele udfaldsrummet op, sæt sandsynligheder ved hver enkelt (to rækker) og kig på n over q.

hmmm... vi har slet ikke haft om binomialformlen... tvivler stærkt på om jeg må benytte mig af en formel, vi ikke har lært på skolebænken....

en eller anden..? please...

Det er ikke helt klart, om der tænkes på at få en 6er og en 3er samtidig netop een gang ud af de 40, eller mindst een gang ud af de 40 (og senere de 50 gange).

der er ingen begrænsninger...

 

I så fald fortolker jeg det derhen, at (6,3) kommer ud mindst een gang ud af de 40. Her kan det svare sig et se på komplementærhændelsen, at 6 og 3 aldrig kommer ud samtidig.

I eet kast er der, som angivet af Morsing i #1, 36 mulige udfald, hvoraf 6 og 3 samtidig forekommer i 2 udfald (nemlig (6,3) og (3,6)). Chancen for, at de ikke kommer ud samtidig, er da 34/36 . Chancen for, at de ikke kommer ud i 40 kast, er da (34/36)⁴⁰ , så chancen for at få 6 og 3 samtidig over 40 kast er da

1 - (34/36)⁴⁰ = 0,8984

og over 50 kast er chancen da

1 - (34/36)⁵⁰ = 0,9426

0,9426? det lyder ekstremt meget...

mener du ikke det omvendte? altså chancen for ikke at slå en 6'er og 3'er samtidig er 0,9426 = 94,3%... ?? og chancen for at slå dem begge samtidig er 0,0574 = 5,7%...??
_________

jeg har aldrig haft om sandsynlighedsregning og derfor har jeg ikke haft en chance for at tænke som dig, Andersen11.

men det jeg har gjort er således:

chancen for at slå en 6'er og en 3'er samtidig ved ét kast er:

2/36

når vi så skal kaste 40 gange ganger jeg både tælleren og nævneren med 40:

(2*40)/(36'40) = 80/1080 = 0,055556 = 5,6 %

#7

Når du ganger med det samme tal i både tæller og nævner, forlænger du jo bare brøken, dvs. du ændrer ikke dens værdi , dvs. du har stadig 2/36 = 5,6% efter 40 kast, og ifølge din teori også 5,6% efter 50 kast og 5,6% efter 1.000.000 kast. Det synes ikke at være rimeligt.

Hvorfor synes du, at det lyder af ekstremt meget, 94,26%, for at få en 6er og en 3er samtidig mindst een gang ud af 50 forsøg? Jo flere gange, du prøver en tilfældig hændelse, jo større er chancen for at hændelsen indtræffer.

Lad os prøve at udregne chancen for at få en 6er og en 3er samtidig mindst een gang ud af n kast, for nogle værdier af n:

  1 kast: p = 1 - (34/36)¹ = 1 - 34/36 = 2/36 = 5,55556 %
  2 kast: p = 1 - (34/36)² = 10,8025%
  3 kast: p = 1 - (34/36)³ = 15,7579%
  4 kast: p = 1 - (34/36)⁴ = 20,4380%
  5 kast: p = 1 - (34/36)⁵ = 25,8581%
  6 kast: p = 1 - (34/36)⁶ = 29,0327%
  7 kast: p = 1 - (34/36)⁷ = 32,9753%
  8 kast: p = 1 - (34/36)⁸ = 36,6989%
  9 kast: p = 1 - (34/36)⁹ = 40,2156%
10 kast: p = 1 - (34/36)¹⁰ = 43,5370%
...
20 kast: p = 1 - (34/36)²⁰ = 68,1193%
40 kast: p = 1 - (34/36)⁴⁰ = 89,8362%
50 kast: p = 1 - (34/36)⁵⁰ = 94,2612%
100 kast: p = 1 - (34/36)¹⁰⁰ = 99,6707%
200 kast: p = 1 - (34/36)²⁰⁰ = 99,9989%

For små antal kast n vokser sandsynligheden p næsten lineært som funktion af n, hvilket vel er den intuitive fornemmelse; men som n bliver større og større, bliver afvigelsen fra linearitet også større, og p nærmer sig asymptotisk værdien 1.

Du skriver, at du aldrig har lært om sandsynlighedsregning; men hvis dette er en opgave, der er stillet som led i undervisningen i din klasse, må I da vel have hørt lidt om begrebet?

ja, det kan jeg godt se...

nej, helt seriøst vi har ikke lært om sandsynlighedsregning... det er derfor 2/3 af min klasse ikke har afleveret.. :-/

denne opgave indgår i vores fysikrapport... og vores fysiklærer tror, at vi kan alt - inkl. sandsynlighedregning... vi har ikke engang haft det i mat.undervisningen... det kommer efter statistikforløbet, som vi har i øjeblikket..

______

dét jeg mener med, at jeg synes 0,9426 lyder ekstemt meget er: da jeg kastede med to terninger 30 gange fik jeg kun ca. 2, hvilket svarer til ca. 5,5 %... jeg gjorde det samme ca. 17 gange og fik i snit 2-4 * 6'er og 3'er..   

nu er opgaven ikke helt den som jeg har beskrevet i #0.. det handler om hvor mange kerner der vil være tilbage, efter et bestemt tidsinterval...

men den måde jeg har beregnet sandynligheden, giver faktisk god mening... den teoretiske(sandysnlighedsregningen) og den praktiske(forsøget med terninger) er forholdsvis sammenfaldende... det giver i hvertfald god mening...

nu må vi se om "min måde" vil tilfredstille min fysiklærer...

i øvrigt siger jeg mange tak for den fine forklaring ovenfor...