bevis for differentialkvotienter

21. maj 2010 af Blueoil (Slettet)

Hej, er der en der tilfældigvis kender et sted, hvor beviset for differentialkvotienten til: a*x^n ...står beskrevet?

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. maj 2010 af Erik Morsing (Slettet)

Hint: Sæt xⁿ = e^n*ln(x) = e^u

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. maj 2010 af MarsDK (Slettet)

og differentier e^usom en sammensat funktion , og brug potensregneregler ..

Evt kan du bruge følgende induktionsbevis, der også er elegant:

- Vi antager at det gælder ( x^n-1)' = (n-1) x^(n-2)
Det kan let vises at gælde for n = 3, dvs x^2'

- Der gælder at xⁿ = x*x^(n-1) => (xⁿ) ' = (x* x^n-1)'

Dette kan differentieres vha. produktreglen, som antages bevist, til

(x* x^(n-1))' = x' * x^(n-1) + x * x^(n-1)' = x^(n-1) + x * (n-1) * x^(n-2) = (n - 1 + 1) x^(n-1) = n x^(n-1)

Hvis det ønskede gælder for n -1 gælder det altså også for n .. Det gælder for n = 3, derfor også for n = 4 derfor også for n = 5 etc etc...

At det gælder for x^2 kan let vises ud fra grænsen af differenskvotienten, det er sikkert gjort i din bog

Skriv et svar til: bevis for differentialkvotienter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.