Bevis for afstandsformlen

Hej Gitte,

jeg kan se du spørger om en specifik afstandsformel indenfor rumgeometri, men hvilken en er det? Skriv den ned.

Mvh. Anders :-)

Hej Anders,

Nej ikke en specifik?!

Jeg spørger til den generelle afstandsformel i rummet:

IABI= ((b1-a1)^2+(b2-a2)^2+(b3-a3)^2)^0,5 (altså kvadratroden af det)

Den ved jeg ikke, hvordan man beviser..

Mvh

Hej igen Gitte,

okay nu er jeg med. Vi har to punkter i rummet, A=(a1, a2, a3) og B=(b1, b2, b3)  og vi vil gerne finde afstanden mellem dem. Lad os danne vektoren AB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3). Denne vektor kan skrives som en lineær kombination af tre andre vektorer, nemlig basisvektorerne i, j og k dvs.

AB= (b1-a1)i+(b2-a2)j+(b3-a3)k.

Dernæst har vi udtrykket

|AB|²=|(b1-a1)i |²+|(b2-a2)j |²+ | (b3-a3)k |² som ækvivalent til

|AB|²=|(b1-a1)|²| i |²+|(b2-a2)|²| j |²+| (b3-a3)|2| k |²

puuha, det tog langt at skrive. Bemærk at vi nu har taget afstanden af basisvektorerne som er sat i anden. Altså har de afstanden én. Så det vi tilbage er

|AB|²=|(b1-a1)|²+|(b2-a2)|²+| (b3-a3)|² som er det samme som

|AB|²=(b1-a1)²+(b2-a2)²+(b3-a3)² og endelig får vi den søgte formel ved kvadrering.

AB=[(b1-a1)²+(b2-a2)²+(b3-a3)²]^0,5

Mvh. Anders


 

Mange tak for din venlighed :)