Bevis for sætning for stamfunktion

Vis det ved at differentiere udtrykkene med stamfunktionerne, hvorved man kommer tilbage til det oprindelige udtryk. Funktionen F(x) er en stamfunktion til f(x), hvis og kun hvis F'(x) = f(x) .

 Jamen for at kunne differentiere stamfunktionerne, skal man så ikke benytte nogle eksempler? 

#2

Jo, så anvend det princip på de eksempler, du havde valgt. For eks.

hvis f(x)=k*g(x) så er F(x)=k*G(x)+c , fordi man ved differentiation af ligningen F(x) = k*G(x)+c kommer tilbage til
f(x)=k*g(x).

 Så til bevis for at 

h(x)=f(x)±g(x) har stamfunktionen H(x)=F(x)±G(x)+c

kan man så ikke sige: 

Jeg har valgt at

F(x)=2x^3+4x^2+6

og at

G(x)=4x^4+4x^2-10

så H(x)=2x^3+4x^2+6+4x^4+4x^2-10 ⇔ H(x)=8x^2+2x^3+4x^4 - 4

Differentieret giver det = 16x^3+6x^2+16x

som svarer til h(x)= (16x^3+8x)+(6x^2+8x) som er hhv g(x) og f(x) som er de differentierede funktioner for G(x) og F(x)

Bevis for den ene sætning slut?

#4

Du behøver nu ikke at vælge konkrete eksempler for at bevise den generelle formel, du har valgt.

I beviset for at

h(x)=f(x)±g(x) har stamfunktionen H(x)=F(x)±G(x)+c

antages det jo, at F(x) er en stamfunktion til f(x), og at G(x) er en stamfunktion til g(x) . Da har vi

(F(x)±G(x)+c)' = (F(x))'±(G(x))'+(c)' = f(x)±g(x) = h(x) .

Hermed er vist, at F(x)±G(x)+c er samtlige stamfunktioner til h(x) .

 Så for det andet bevis for at 

f(x)=k*g(x) har stamfunktion F(x)=k*G(x)+c

antages det at F(x) er stamfunktion til f(x)

Da har vi 

(k * G(x) + c)' = k * (G(x)+c)' = k * (G(x))' + (c)' = k * g(x) = f(x)

Og er det så vist at F(x)= k *G(x)+c er samtlige stamfunktioner til f(x)?

#6 - Ja.