Matematik skriftlig, opg 6 i STX B uden hjælpemidler

En rettelse:

f (x)= x3−3x2−9x ---> f(x)= x³-3x²-9x

Find f'(x) og løs ligningen f'(x) = 0 .

Da f(x) er et polynomium af grad 3, er f'(x) et 2.-gradspolynomium, og ligningen f'(x) = 0 går da ud på at løse en 2.-gradsligning.

#2

Det forstår jeg ikke..?

Og forresten er der nogle, som ved, om man kan komme op i dette, hvis man har matematik på C-niveau?

Er der ingen, som vil forklare?

#3

Hvad er det, du ikke forstår? Forstår du ikke, hvor man differentierer et polyomium? Eller hvordan man løser en 2.-gradsliging?

#5

Begge dele.. :(

Vil du ikke også forklare mig, hvordan du ville have løst opgaven, og hvad facit vil blive?

#6

Funktionen f(x)= x³-3x²-9x er et polynomium. For at differentiere funktionen, differentierer vi hvert led for sig og benytter den generelle formel for differentiation af en potensfunktion:

(xⁿ)' = n·x^n-1 . Dette benytter vi for hvert led i funktionen f(x) og får

f'(x) = (x³)' -3·(x²)' -9·(x)' = 3x² -3·2x - 9·1 = 3x² - 6x - 9 .

For at undersøge monotoniforhold for f(x) finder vi først de stationære punkter, dvs løsningerne til ligningen

f'(x) = 0 , altså 3x² - 6x - 9 = 0 eller x² - 2x - 3 = 0 . Det ses umiddelbart, at x=3 og x=-1 er rødderne i denne ligning, og da f'(x) er et 2.-gradspolynomium med positiv a-koefficient (koefficienten til leddet med x²), vender det grenene opad, og det betyder, at

f'(x) > 0 for x < -1 ⇒ f(x) er voksende her
f'(x) = 0 for x = -1 ⇒ f(x) har lokalt maksimum her
f'(x) < 0 for -1 < x < 3 ⇒ f(x) er aftagende her
f'(x) = 0 for x = 3 ⇒ f(x) har lokalt minimum her
f'(x) > 0 for x > 3 ⇒ f(x) er voksende her