f(x)+g(x) bevis??

Antag, at funktionerne f(x) og g(x) er differentiable i x, og vis at funktionen f+g er differentiabel, og at funktionen fg er differentiabel. Vi viser, at en funktion er differentiabel, ved at danne differenskvotienten svarende til en ændring af x med h og dernæst vise, at denne kvotient har en grænseværdi for h gående mod 0.

Betragt funktionen (fg)(x) = f(x)g(x). Her danner vi differenskvotienten:

(f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x))/h = (f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x))/h

     = f(x+h)·(g(x+h)-g(x))/h + g(x)·(f(x+h)-f(x))/h → f(x)·g'(x) + f'(x)·g(x) for h → 0

 er det ikke bare et bevis for f(x) * g(x) og ikke f(x)+g(x) eller er det det samme?

(f(x+h)g(x+h) -  f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x))/h ??? hvad sker der her?

#2

Beviset i #1 var for produktet af to funktioner. Jeg valgte dette eksempel, da det er lidt mere kompliceret end beviset for summen af to funktioner.

#3

Her lægger jeg f(x+h)g(x) og trækker det fra igen. Dette ændre ikke ligningen, men det frembringer de to led, der indgår i resultatet.

Beviset for differentiablilitet af (f+g) er lidt simplere: Vi antager at f(x) og g(x) er differentiable og danner differenskvotienten

((f+g)(x+h) - (f+g)(x))/h = (f(x+h) + g(x+h) - (f(x)+g(x)))/h = (f(x+h)-f(x) + g(x+h)-g(x))/h

    = (f(x+h)-f(x))/h + (g(x+h)-g(x))/h → f'(x) + g'(x) for h → 0 .

 så altså det du skrev er noget helt andet?? er meget forvirret nu

#5

Jeg forstår ikke hvad du mener nu. I #1 har jeg givet beviset for differentialkvotienten for (fg), og i #4 beviset for (f+g).

 ups har forstået den nu.. :) taak 

#1

Du ender ud med  f(x)·g'(x) + f'(x)·g(x) men skulle vi ikke ende ud med f(x)*g(x)?