Matematik

Sinus og cosinus

24. marts 2005 af Allan Hansen (Slettet)

Hej...
Hvordan er fremgangsmåden til at løse følgende opgaver?

De skal helst løses uden hjælp af grafregner.
Jeg har ca. fået 20 af disse opgaver, derfor vil gerne se en fremgangsmåde, samt måske en lille forklaring på hvorfor, så jeg kan forstå metoden.

a) 2sin^4(x)-19sin^2(x)+9=0

b) 1/3
c) sin(x-pi/5)=0,85

mange tusind tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. marts 2005 af frodo (Slettet)

a) t=sin^2x, og du får en andengradsligning i t.

b)sæt y=2x, og løs:
1/3
c) du bliver nødt til at tage arcsin på lommeregneren!

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#1:

"c) du bliver nødt til at tage arcsin på lommeregneren!"

Hvem har sagt, at det er forbudt at angive en eksakt løsning? ;-)

x1 = arcsin(0.85) + pi/5

og dernæst benytte, at supplementvinkler har samme sinus, så

x2 = pi-(x1-pi/5) = 6*pi/5 - arcsin(0.85)

er endnu en løsning.

Enhver løsning er så på en af formerne

x1_n = x1 + 2pi*n, n E Z
x2_n = x2 + 2pi*n, n E Z

på grund af 2pi-periodiciteten af sinus.

//Singularity

Svar #3
24. marts 2005 af Allan Hansen (Slettet)

Jeg forstår ikke rigtig.

a) hvorfor t=sin^2x?

b)Hvad mener du med at sætte y=2x?

altså 1/3<sin(2x) og sin(2x)<2/3,hvordan får jeg så isoleret x?

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. marts 2005 af frodo (Slettet)

a) for at lette overskueligheden.. Men det er klart, at du umiddelbart bare har en andengradsligning i sin^2(x)

b) for at lette overskueligheden. Men du kigger på enhedscirklen, når du ved hvilken vinkel der modsvarer en sinus på 1/3 hhv 2/3, for at se, hvornår sinus er hhv mindre og større-

Brugbart svar (0)

Svar #5
24. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#2: Jamen dog...der smuttede vist lige pi/5 i farten :-)

Sådan her;

x2 = pi-(x1-pi/5) + pi/5 = 6*pi/5 - arcsin(0.85)

//Singularity

Svar #6
24. marts 2005 af Allan Hansen (Slettet)

Kan i ikke uddybe lidt? jeg savner egentlig mere en forklaring på hvordan man gør.

eks. Du kigger på enhedscirklen hvoraf du kan se at at...osv osv. derefter kan du se at sin(90)= pi/2 osv osv.

Jeg håber på at i kan hjælpe mig til en forståelse at dette emne!

Svar #7
24. marts 2005 af Allan Hansen (Slettet)

#6
Så jeg er i stand til at løse disse slags opgaver!

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#3:

b) Det er egentlig tilstrækkeligt at opsøge løsninger til uligheden

1/3

i intervallet [0;pi/4], hvor sin(2x) er strengt voksende (er du med så langt?), thi det betyder, at den inverse (omvendte) funktion, arcsin(2x) er strengt voksende, og uligheden kan derfor løses direkte ved at tage arcus-sinus;

arcsin(1/3)

Herfra finder du løsningsintervallet for x. Dette giver naturligvis ikke alle løsninger, men hvordan får man så de resterende?

Vink: sin(2x) er positiv for 2x E ]0;pi/2[, dvs. i øvre halvdel af enhedscirklen. Brug da ideen fra #2 med supplementvinkler.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

Jeg formoder, at du ikke helt er med, så lad mig uddybe fremgangsmåden;

Vi skal løse uligheden

1/3

I første omgang restringerer vi sin(2x) til intervallet ]0;pi/4[ (1.kvadrant). Så er sin(2x) strengt voksende, og det samme gælder om den inverse funktion arcsin(2x) på ]0;1[. Vi har da, at

arcsin(1/3)

så

x E ]1/2*arcsin(1/3); 1/2*arcsin(2/3)[

løser uligheden (*). Supplementvinkler (to vinkler med vinkelsummen pi (radianer), svarende til 180deg) har samme sinus, hvorfor vi også har løsninger for

pi - arcsin(2/3)

ergo

x E ]pi/2-1/2*arcsin(2/3); pi/2-1/2*arcsin(1/3)[

Dermed er samtlige løsninger i intervallet [0;2pi] fundet.

Herfra er det ikke svært at opskrive samtlige løsninger til (*) i R, eftersom sin(2x) er 2pi-periodisk.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #10
24. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#9:

arcsin(2x) på ]0;1[ -> arcsin(2x) på ]0;1/2[

//Singularity

Svar #11
24. marts 2005 af Allan Hansen (Slettet)

arcsin er det den omvendte? Hvis ja, så tror jeg, at jeg er ved at forstå det! jeg kigger lige de andre opgaver igennem. Hvis jeg stadig er i tvivl, så skriver jeg lige.

Brugbart svar (0)

Svar #12
24. marts 2005 af frodo (Slettet)

ja.. kært barn har mange navne

Arcsin=invsin=sin^-1= den omvendte funktion til sinus i intervallet [-pi/2;pi/2]

Svar #13
24. marts 2005 af Allan Hansen (Slettet)

Jeg forstår ikke helt
arcsin(1/3)
Hvordan det?

Brugbart svar (0)

Svar #14
24. marts 2005 af frodo (Slettet)

fordi arcsin(sin(2x))=2x

Og arcsin er blot taget på de andre sider også, for at få x isoleret

Svar #15
24. marts 2005 af Allan Hansen (Slettet)

fedt...mange tak. nu giver det mening.

Brugbart svar (0)

Svar #16
25. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#9: Jamen dog - det går rigtig nok godt; arcsin(2x) er naturligvis ikke den inverse funktion til sin(2x) på ]0;pi/4[. I stedet har vi;

Lad y = f(x), hvor f: ]0;pi/4[ -> R er funktionen

f(x) = sin(2x)

Så er f strengt voksende, positiv og kontinuert, og f afbilder ]0;pi/4[ på ]0;1[. Dermed har f en omvendt funktion g: ]0;1[ -> R, defineret ved

g(y) = f^(-1)(y) = 1/2*arcsin(y)

som er strengt voksende, positiv og kontinuert, og som afbilder ]0;1[ på ]0;pi/4[.

De i #9 opskrevne løsningsintervaller er dog stadigvæk korrekte.

//Singularity

Svar #17
27. marts 2005 af Allan Hansen (Slettet)

Så er jeg endelig kommet frem til nogle resultater. Jeg vil gerne have lidt feedback på både fremgngsmåden samt resultaterne:

a)Jeg havde i en opgave forinden fået at x=3 v x=-3 v x=-0,707 v x=0,707.
Dette skal så benyttes i denne opgave.

2sin^4(x)-19sin^2(x)+19=0

jeg antager at y=sin^2(x)

derfor ændre jeg funktionen, så:

2y^2-19y+19=0

altså må følgende også gælde:

sin^2(x)=9<=>sin(x)=±3
v
sin^2(x)=1/2<=>sin(x)=±1/kvdr2

da sin(x)=±3 overskrider enhedscirklen så er L=Ø.

heraf kan det ses at jeg skal beskæftige mig med sin(x)=-+1/kvdr2.

sin(x)=1/kvdr2 v sin(x)=-1/kvdr2

x=0,707+p*2л x=-0,707+p*2л
v v
x=л-0,707+p*2л x=л+0,707+p*2л

hermed færdig.

b) Jeg løser 1/3
jeg splitter uligheden op i 2 dele, så

1. del

1/3
jeg finder sin^-1(1/3)=0,34 på grafregneren.

heraf kan følgende konkluderes:

2x=0,34+p*2л v x=л-0,34+p*2л

2. del

sin(2x)
jeg finder sin^-1(2/3)=0,73 på grafregneren.

heraf kan følgende konkluderes:

2x=0,73+p*2л v x=л-0,73+p*2л

altså må løsningsmængden alt i alt være

L=[(0,34+p*2л);(0,73+p*2л)] v
[(2,412+p*2л);(2,801+p*2л)].

hermed færdig.

c) løs sin(x-л/5)=0,85

sin^-1(0,85)=1,016, så

x-л/5=±1,016+p*2л

derefter isolere jeg x, så

x=1,644+p*2л v x=-0,388+p*2л.

hermed færdig.

Svar #18
27. marts 2005 af Allan Hansen (Slettet)

jeg skriver lige en ny, da ovenstående ikke fungere helt.

2min.

Svar #19
27. marts 2005 af Allan Hansen (Slettet)

Så er jeg endelig kommet frem til nogle resultater. Jeg vil gerne have lidt feedback på både fremgngsmåden samt resultaterne:

a)Jeg havde i en opgave forinden fået at x=3 v x=-3 v x=-0,707 v x=0,707.
dette skal så benyttes i denne opgave.

2sin^4(x)-19sin^2(x)+19=0

jeg antager at y=sin^2(x)

derfor ændre jeg funktionen, så:

2y^2-19y+19=0

altså må følgende også gælde:

sin^2(x)=9<=>sin(x)=+-3
v
sin^2(x)=1/2<=>sin(x)=+-1/kvdr2

da sin(x)=-+3 overskrider enhedscirklen så er L=Ø.

heraf kan det ses at jeg skal beskæftige mig med sin(x)=-+1/kvdr2.

sin(x)=1/kvdr2 v sin(x)=-1/kvdr2

x=0,707+p*2pi x=-0,707+p*2pi
v v
x=pi-0,707+p*2pi x=pi+0,707+p*2pi

hermed færdig.

b) Jeg løser 1/3
jeg splitter uligheden op i 2 dele, så

1. del

1/3
jeg finder sin^-1(1/3)=0,34 på grafregneren.

heraf kan følgende konkluderes:

2x=0,34+p*2pi<=> x=0,17+p*2pi
v
x=pi-0,34+p*2pi

2. del

sin(2x)
jeg finder sin^-1(2/3)=0,73 på grafregneren.

heraf kan følgende konkluderes:

2x=0,73+p*2pi<=> x=0,365+p*2pi
v
x=pi-0,73+p*2pi

altså må løsningsmængden alt i alt være

L=[(0,17+p*2pi);(0,365+p*2pi)] v
[(2,412+p*2pi);(2,801+p*2pi)].

hermed færdig.

c) løs sin(x-pi/5)=0,85

sin^-1(0,85)=1,016, så

x-pi/5=+-1,016+p*2pi

derefter isolere jeg x, så

x=1,644+p*2pi v x=-0,388+p*2pi.

hermed færdig.

Svar #20
28. marts 2005 af Allan Hansen (Slettet)

Vil en eller anden ikke lige kigge ovenstående indlæg igennem, for at se om resultaterne er okay?

Mange tak på forhånd!

Skriv et svar til: Sinus og cosinus

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.