omdrejningslegeme

Formlen for omdrejningslegemet givet ved 0 <y f(x) er π_∫-π/2^π/2f(x)²dx Træk dette fra rumfanget af cylinderen med radius 2 og du har det søgte rumfang.

b) Bestem først grænserne idet f(x) er begrænset af y = 2. altså løs f(x) = 2. giver grænserne a og b.

V = π*∫_a^b 2² dx - π*∫_a^b f(x)² dx      cylinderen med radius 2 minus rumfanget mellem x -aksen og f(x)

@ Peter Lind og Kieslich

Jeg forstår det ikke helt. Hvor kommer pi uden for integralet fra? og hvorfor skal rumfanget mellem f(x) og x-aksen trækkes fra cylinderrumfang? Der er jo ikke noget cylinder? Og rumfanget mellem x-asken og f(x) er jo ret stort og aflangt eftersom M ligger mellem f(x) og y=2 (som er over f(x))

Og hvorfor er 2 radius?

Hov nu forstår jeg det.

Men har stadig ét spørgsmål; hvordan finder jeg grænserne? Kan de kun findes ved aflæsning?

M = { (x;y)| f(x) ≤ y ≤ 2 }      så det er det mellem f(x) og linien y = 2 som drejes og som du skal finde rumfanget af.

Dine spørgsmål i #3 kan kun skyldes at du ikke har lavet en tegning. Gør det.

Grænserne findes ved at løse f(x) = 2

grænser:

                    1/cos(x) = 2      x∈]-π/2;π/2[

                    cos(x) = cos(-x) = 1/2

                    b = x = (π/3)        a = -x = -(π/3)

@ Kieslich

Jeg havde tegnet graferne, men kunne bare ikke lige regne den ud. Men jeg skrev jo også senere at jeg havde forstået det (:

tak for hjælpen!

Men hvad gør jeg så i c'eren?

Hmm... altså når man skal regne rumfanget ud og indsætter grænserne i den formel I gav mig... Så i cylinderets formel der indgår grænserne jo ikke da y=2 (ingen x-værdier), og dermed kommer der jo bare til at stå "2^2 - 2^2" som giver nul. Og jeg er ret sikker på at min antagelse her er forkert - så hvad gør jeg forkert?

       V_cyl = L·π·r² = (2π/3)·π·2² = (8π²/3)

V= π•_-π/3∫^π/3(1/cos(x))²dx = π•_-π/3∫^π/3(1/cos²(x))dx = π·[tan(x)]_-π/3^π/3 = π·(tan(π/3) - tan(-π/3)) =
                                                                                                                               2π·tan(π/3) = 2π√(3)

                  V_{omdrejningslegeme} = (8π²/3) - 2π√(3) ≈ 15,44

Tusind tak for svarene, har løst den nu :D

Men jeg er stadig ikke med på c'eren.

Der drejes M rundt om y=2 i stedet.

Jeg går ud fra jeg skal bruge den samme formel:

π * ∫_-π/3 ^π/3 f(x) dx

Men denne formel lægger op til at M drejes om x-aksen, så hvad skal ændres? Hvordan får jeg den drejet om y=2?

Hmm, jeg går ud fra at noget skal trækkes fra.

Jeg har prøvet at tage en ny cylinder med ny radius og trække fra men det fungerer ikke. Nu mindre radius var 1,509 så passe det med facit. Men det giver jo heller ikke mening.

Nogle ideer?

bw. glemte at opløfte f(x) i anden...

Hvor bliver det nemt når man tegner.

Prøv at tænke over  π ∫_-π/3^π/3  (2-f(x))² dx

Altså jeg har virkelig forsøgt med tegninger og kom frem til noget jeg selv syntes var vildt logisk; altså en cylinder med radius 4 og så trække V fra 2 gange. Men det giver 85 og ikke 4, hvilket jo er ret meget forkert så d;

Men kieslich jeg forstår ikke helt hvorfor du trækker f(x) fra 2 og inde i integralet?

altså jeg kan godt se din pointe med at det er y=2 men jeg forstår bare ikke hvorfor den er inde i samme integraltegn.

M består af arealet mellem f(x) og 2. funktionen g(x) = 2 - f(x) må have samme areal. At dreje M om linien y = 2 er det samme som at dreje g(x) om x-aksen. Ses let af en tegning. Heraf fås #14.

.. Men det er desværre ikke rigtigt.

Resultatet er 0,72 og det skal være 4,1.

#14 + #17 er rigtige.  det giver 4.103.

Nu gik det også op for mig!

Tak for hjælpen!