Polynomier

#0

Nej. Som det er skrevet her, fås

z³ + 8³  . Løser du nu ligningen

z³ + 8³ = 0 , fås

(z+2)(z² -2z +4) = 0 , dvs

z = -2 ∨ z² -2z + 4 = 0 , eller

z = -2 ∨ z = 1 ±i√3

Jamen du benytter dig da ikke af formlen på nogen måder?

#2

Nej, det var ikke nødvendigt. Men du får samme resultat, hvis du bruger formlen. Da er |a| = 8, og arg(a) = π , så du får

z = 2·e^{i(π/3 + p·2π/3)} , p = 0, 1, 2

z = 2·e^iπ/3 = 2·(cos(π/3) + i·sin(π/3)) = 2((1/2) + i(√3)/2) = 1 + i√3 , for p = 0

z = 2·e^{i(π/3 + 2π/3)} = 2·e^iπ = 2·(-1) = -2 , for p = 1

z = 2·e^{i(π/3 + 4π/3)} = 2·e^i5π/3 = 2·(cos(5π/3) + i·sin(5π/3)) = 2((1/2) - i(√3)/2) = 1 - i√3 , for p = 2

Jeg får foreksempel z = 4+4√3·i

z= -4+4√3·i

Z = -8

Hvordan kan det være?

#4

Det er fordi, jeg i tankerne løste ligningen z³ + 2³ = 0. Med z³ + 8³ = 0, fås løsningernes modulus til 8, og ikke til 2 som, jeg brugte før. Argumenterne til røddderne er dog korrekt anført i #3. De korrekte rødder er da

z = -8 ∨ z = 4 ± 4i√3 .

Din rod z = -4 +4i√3 skal være z = 4 -4i√3 .

Jeg beklager min tanketorsk #1 og #3.

Erm

Så det her ser rigtigt ud for den ene:

z=3√512e^{i(∏/3+0·∏/3)}=4+4√3i

?

#7

Ja, det er rigtigt. Brug π (lille pi) for pi, ikke det store pi Π .

Ok. Mange tak. Jeg har lige et til spørgsmål:

Hvis jeg skal omregne dette til rektangulær form: e¹¹/√2    e^-i5·π/e^i-π/4

Skal jeg så benytte denne formel: e^it=cos(t)+isin(t)     ?

#9

Ja, den skal du bruge, men du har jo også en reel faktor foran.

Altså jeg havde et polynomium hvor jeg kom frem til den polare form =   e11/√2   e-i5·π/ei-π/4    (kunne nok forkortes)

Hvad mener du så med at jeg har en reel faktor foran?

Altså jeg skal vel bare sige: e¹¹·cos(5π)+isin(5π)=-e¹¹

-e¹¹/1-1 (den står allerede på rektangulær form, derfor jeg ikke spurgte ind til den).

#11

Jeg mente blot, at du kun kan bruge e^it = cos(t) + isin(t) på den del af dit udtryk, der har modulus 1 .

Du har

e¹¹/√2 e^-i5·π/e^i-π/4 = e¹¹/√2 e^-i5·π·e^-(i-π/4)

Jeg tror jeg er blevet lidt forvirret :S.

Jeg havde det her komplekse tal: 

e^2+9+0-i5π/(1-i)

Når jeg regner den polar form ud får jeg:

(e¹¹/√2)·e^(-5π-π/4)

Den rektangulære form er så:

-e11/1-1

Eller har jeg misforstået noget?

#13 -- Lad os se på det i detaljer.

e^2+9+0-i5π/(1-i) = e¹¹·e^-i5π·(1+i)/((1-i)(1+i))

    = e¹¹·e^-i5π·(1+i)/2

    = e¹¹·(cos(5π) -i·sin(5π))(1+i)/2

    = e¹¹·(cos(5π) + sin(5π))/2

    + i·e¹¹·(cos(5π) -sin(5π))/2

Her er tallet skrevet i 2 linier på rektangulær form a + ib, hvor a og b er reelle tal.

Det kan godt være jeg spørger meget dumt nu, men er ikke helt på hvad du gør og hvorfor?

#15

Det drejer sig om at finde real- og imaginærdelen af det komplekse tal. Et skridt mod dette mål er at skrive om på den ubehagelige 1/(1-i) faktor ved at forlænge med nævnerens komplekst konjugerede :

1/(1-i) = (1+i)/((1-i)(1+i)) = (1+i)/(1-i²) = (1+i)/2  .

Derved når vi til

= e¹¹·e^-i5π·(1+i)/2 , som vi så skriver som

= e¹¹·(cos(5π) -i·sin(5π))(1+i)/2 .

Tilbage er så at fiske de to led ud, der danner realdelen, og de to led, der danner imaginærdelen.