Bevis sin(2v)=2sin(v)cos(v)

alment:     
                  sin(x+y) = sin(x)·cos(y) + cos(x)·sin(y)

hvoraf
                  sin(2v) = sin(v+v) = sin(v)·cos(v) + cos(v)·sin(v) = 2 sin(v)cos(v)

Det her vel som sådan ingen relation til eulers formler?

Dit dokument er en .mw fil. Du kan få flere til at hjælpe, hvis du kan vedhæfte filer i et mere tilgængeligt format, .doc, .pdf, .jpg,

Eulers formel lyder, for et reelt v

e^iv = cos(v) + i·sin(v) , så

e^2iv = cos(2v) + i·sin(2v) .

Nu er

e^2iv = (e^iv)² = [cos(v) + i·sin(v)]²

       = cos²(v) - sin²(v) + 2·i·cos(v)·sin(v) .

Heraf aflæses, ved sammenligning af realdel og imaginærdel for e^2iv :

cos(2v) = cos²(v) - sin²(v) , og

sin(2v) = 2·sin(v)·cos(v)

aha. jeg substituerer bare ind efter og reducerer

hvordan viser du så at der også gælder:

cos(2v)=2(cos(v))²-1=1-2(sin(v))²?

og, mikkel hvad mener du med substituere og reducerer i forhold til andersen11's svar. jeg er desværre lidt lost men har samme opgave :P

#5

Det er jo en del af resultatet i #3, når man aflæser realdelene og imaginærdelene særskilt.

hvad mener du med de hårde paranteser? er det en kvadratsætning du regner ud for så burde du da ikke få et minus imellem cos²v og sin²v?

confused

@ #5

fra #3 har du

                     cos(2v) = cos²(v) - sin²(v)

                               her i:            
                                                         indsættes sin²(v) = 1-cos²(v)
                                          hvoraf    cos(2v) = cos²(v) - (1-cos²(v)) = 2cos²(v) - 1

                                          og

                                                        indsættes cos²(v) = 1-sin²(v)
                                          hvoraf   cos(2v) = 1-sin²(v) - sin²(v) = 1 - 2sin²(v)

 

#8

Hvordan får du

sin^2(v)=1-cos^2(v)

#9

Det er den grundlæggende formel for sin og cos, at

sin²(v) + cos²(v) = 1 .

Det er Pythagoras i forklædning.

#7

Der benyttes, at i2 = -1, så

[cos(v) + i·sin(v)]² = cos²(v) + i²·sin²(v) + 2i·cos(v)·sin(v)

            = cos²(v) - sin²(v) + i·2·cos(v)·sin(v)

#3

Når jeg aflæser realdelen får jeg det du får, men imaginærdelen får jeg til 2 cos(v) * sin(v).

Hvad er det jeg gør galt? Har prøvet i maple og der får jeg det resultat.  Håber på lidt hjælp:)

#11

Det er jo også korrekt for imaginærdelen . Deraf aflæses

sin(2v) = 2·cos(v)·sin(v) = 2·sin(v)·cos(v)

Ja du har ret, det er mig der sov:) mange tak

#10 Du har (som altid) lavet en fejl. i2 kan umuligt give (-1).  

#14

Tak for den tillidsfulde karakterisation.

Meningen var i² = -1, altså i·i = -1 .

Det er netop definitionen på den imaginære enhed i .