Cirklens skæring med x-aksen

Cirklens ligning du er kommet frem til ser umiddelbart rigtig nok ud.
De to punkter A og B bestemmes ved:
x^2 -10x +y^2 -24y = 0

y = 0 =>
x^2 -10x = 0 <=>
x(x -10) = 0 <=>
x=0 v x=10

Du skal vel finde punktet D.
De to tangenters hældning findes, idet at det vides at de begge står vinkelret på radius.

Radius' hældning fra centrum til (0,0):
a = y0/xo =>
a = 12/5
Tangengtens hældning igennem (0,0):
a = -1/(12/5) <=> a=-5/12
Tangengentens ligning igennem (0,0):
y = -5/12 x

Radius' hældning fra centrum til (10,0):
a = y0/xo =>
a = -12/5
Tangengtens hældning igennem (10,0):
a = -1/(-12/5) <=> a=5/12
Tangentens ligning igennem (10,0):
y=5/12 x + k
x=10 => y=0
0=5/12 *10 + k <=>
k= -25/6
y=5/12 x - 25/6

De to linjers skæringspunkt, D:
-5/12 x = 5/12 x - 25/6 <=>
10/12 x = 25/6 <=>
x = 12*25/(6*10) <=>
x = 5
Dette indsættes i y = -5/12 x:
y = -5/12 *5 <=>
y = -25/12

D(5;-25/12)

Der opstilles vektorer mellem punkterne:
AD:(5;-25/12)
|AD|= sqr(4225/144)
DB:(-5;-25/12)
|BD|= sqr(4225/144)

Prikprodukt:
AD*BD = -25 + 625/144 = -2975/144
Deres længder ganget:
|AD|*|BD| = 4225/144
Vinklen mellem vektorerne beregnes:
cos (v) = (-2975/144)/(4225/144) <=>
cos (v) = (-119/169) <=>
v = 134,761 grader

Jeg er dog på dette tidspunkt overbevist om at der må være en nemmere måde at lave denne udregning på.. Men dette skulle være en metode at beregne vinklen på.

-Matrix!

#0. Hvis du ikke har haft vektorregning, kan du godt komme igennem alligevel:

Når du har fundet D som beskrevet i #1, kan du finde |AD|=|BD| (overvej at disse afstande er ens) ved hjælp af punkt-punkt-afstand og derefter benytte cosinusrelationen til at bestemme D.

Aalborg,

Her er et alternativ til metoden foreslået i #1.

x-koordinaterne til cirklens skæringspunkter A og B med x-aksen (y = 0) er løsningerne til ligningen

(x-5)^2 = 25

hvoraf

x = 0 v x = 10

og dermed

A = (0,0) og B = (10,0).

Indkudsreglen for vektorer i planen giver radiusvektorerne CA hhv. CB;

CA = CO + OA = OA - OC = (0,0)-(5,12) = (-5,-12)
CB = OB - OC = (10,0)-(5,12) = (5,-12)

Centervinklen u mellem disse opfylder

cos u = CA*CB/(|CA|*|CB|)

hvor

CA*CB = (-5)(5) + (-12)^2 = 119
|CA|*|CB| = r^2 = 169

ergo

u = arccos(119/169) = 45.239...deg

Radiusvektorerne og cirkeltangenterne i A hhv. B er ortogonale (

Anm:
Hvis I endnu ikke har beskæftiget jer med vektorer, så beregn blot u af cosinusrelationen

|AB|^2 = |CA|^2 + |CB|^2 - 2|CA|*|CB|*cos(u)

Da |AB| = 10 og |CA| = |CB| = r = 13, får vi

cos u = 1 - 100/338 = 119/169

som ovenfor.

//Singularity