Trekantsuligheder

 |a+b| ≤ |a| + |b|

|a+b|^2 ≤ (|a| + |b|)^2 

a^2 + b^2 + 2ab ≤ a^2 + b^2 + |2ab|    så naturligvis vil 2ab ≤ |2ab| 

#0

Det er jo ikke rigtigt, at |a+b| = 7, da a+b = (1,7) , så |a+b| = √50 = 7,071 , |a| = √13 og |b| = √17 , så |a|+|b| = 7,728

Men se på det mere generelt:

|a+b|² = |a|² + |b|² + 2a•b   , og

(|a|+|b|)² = |a|² + |b|² + 2|a||b| .

Da der gælder a•b ≤ |a||b| fås uligheden i a)

Vil det så sige at b)'eren ser sådan ud: |a-b|² = |a|² + |b|² -2ab og (|a| + |b|)² = |a|2 + |b|2 -2|a||b|
Og dermed -2ab ≤ 2 |a||b| ?

Men hvis dette er rigtigt, kan jeg ikke få c'eren og d'erne til at stemme? da:

c) (||a| - |b||)² = ||a|² + |b|² - 2ab og (|a| + |b|)² = |a|² + |b|² + 2|a||b|
Og dermed |-2ab| ≤ 2ab
Det kan da ikke passe, da længden jo altid vil være positiv, selvom der står minus foran?

Det samme problem er at finde i d'eren:

d) (||a| - |b||)2 = ||a|2 + |b|2 - 2ab og (|a| - |b|)2 = |a|2 + |b|2 - 2|a||b|
Og dermed |-2ab| ≤ -2ab

Hvad gør jeg galt ?
 

#3

b) er rigtig, da -|a||b| ≤ a•b ≤ |a||b| og dermed også -|a||b| ≤ -a•b ≤ |a||b|

c, d) kvadreret

||a|-|b||² = |a|² + |b|² -2|a||b| ≤ |a|² + |b|² ±2a•b = |a±b|²

Så du får det til -2|a||b| ≤ 2ab ? eller er jeg helt galt på den ?

#5

Prøv at være mere præcis. Man skriver aldrig et skalarprodukt uden prikken • mellem de to vektorer. Som jeg skrev i #4 gælder der

-|a||b| ≤ a•b ≤ |a||b| , og dermed ligger -a•b selvfølgelig også mellem de samme to grænser. Og ulighederne kan ganges med 2 .