Retningsafledte af f(x,y,z) i punkt a?

Den retningsafledede af f i punktet a i retningen r er

D_rf(a) = ∇f(a)•r/|r|

Det er vigtigt her, at det er en enhedsvektor i retningen, der indgår.

Beregn derfor gradienten af f i punktet a og beregne skalarproduktet af gradienten med vektoren r/|r| .

   r/r = [√(14)/14 , √(14)/7 , 3√(14)/14)

   den retningsafledede af f(x,y,z)

            er skalarproduktet af
                                                      grad(f(a)) • r/r
 

            det skal altså være skalarproduktet med retningsenhedsvektoren

 Så får jeg

(-2,1,-1) • ([√(14)/14 , √(14)/7 , 3√(14)/14) = -2√(14)/14+2√(14)/14-3√(14)/14 = -3√(14)/14... som ikke er -3

Hvad er forkert?
 

grad(f) = 2x*y*z, x^2*z, x^2*y

grad(f(a))= (2*1*(-1)*1, 1^2*1, 1^2*(-1)) = (-2, 1, -1)

Vektoren r/|r| = (1,2,3)/√14 , så

D_rf(a) = (∇f(a))•(r/|r|) = (-2,1,-1)•(1,2,3)/√14 = (-2+2-3)/√14 = -3/√14 .

Det er korrekt, at det ikke er -3 .

http://cl.ly/33m7

Spørgsmålet stammer fra en prøve som har betydning for beståelse af et matematik intro kursus. Det undrer mig derfor lidt hvis det skulle vise sig at indeholde fejl. I alt er der desuden kun 12 spørgsmål, så 1 spørgsmål der er skrevet forkert vil jo have en nævneværdig betydning.

#5

Dit kursus har måske sin egen definition af den retningsafledede? Åbenbart divideres ikke med |r| .

 Her er beviset for grad(f(a))*r:

http://cl.ly/34A1

Bare for hyggens skyld :)

#7

Deraf kan du jo se, at den tekst definerer den retningsafledede som

D_rf(a) = (∇f(a))•r

mens den definition, som vi brugte her, benytter den normerede retningsvektor r/|r| , og derfor er der en faktor √14 til forskel mellem de to resultater.

 Men hvad er hele idéen så i den metode, der benytter enhedsvektoren? Den bruger jo sådan set kun et ekstra skridt for at finde det samme?

Hele ideen er, at den retningsafledede kun skal være afhængig af den retning, der betragtes, men ikke af størrelsen af den vektor, i hvis retning man betragter den retningsafledede af funktionen f . Man ser på, hvorledes funktionen f varierer i et snit i retningen defineret ved vektoren r . Herved er funktionen f(a) reduceret til en funktion af en enkelt variabel t, hvor t er en parameter i parameterfremstillingen for linien gennem a med retningsvektor r . Ved dannelsen af først differenskvotienten og dernæst differentialkvotienten, går skalaen for liniens parameterfremstilling ud, og det er kun enhedsvektoren r/|r| , der indgår.

 Tak fordi I gad at tage jer tid til at køre mig igennem dette :)