Side 2 - differentialligninger eksamen

Nej, det kan ikke passe. Og du skal ikke spilde tid på 8c før du har fundet ud af hvilken af de to funktioner f der er den rigtige.

Når du har gjort, som jeg har foreslået, vil forstå hvordan du skal løse 8c og 8d.

Mit sidste indlæg er kommet på som #19, jeg ved ikke hvorfor.

Det vil hjælpe mig, hvis du markerer hvilke svar du mener er brugbare.

 vil du ik fortælle mig hvordan det skal skrives op? eller rettere skrive det op som det skal stå for at jeg kan løse den. for tror simpelthen at jeg bliver nødt til at se det for mig, li nu føler jeg mig bare helt blank.

tak

Vi har to løsninger

y₁ = 5* e^(2/5)*x                    og            y₂ = 2* e^(2/5)*x              

      vi beregner y' for dem begge

y₁' = 5*(2/5)* e(2/5)*x        og             y_2' = 2*(2/5)* e(2/5)*x

Nu indsætter først  y₁ og y₁'  i udtrykket   5y' - 2y  og beregner

Det samme gør vi for y₂ og y₂'

Den løsning der giver 5y' - 2y = 0 er den rigtige

Er det nok ellers spørg igen

 forstår ikke hvorfor der er 2 løsninger, for ja konstanten c = 5, men den konstant (c) skal jo ganges med 2/5? min ligning ser således ud på TI-cas:

 (1)         y'=k*y→y'=((2)/(5))*y og den fuldstændige løsning:

(2)          y=c*e^(k*x)

da den fuldstændige løsning er givet ovenstående som værende y=.... kan man sætte den formel ind på ys plads i y'=k*y således at der kommer til at stå:

(3)          y'=k*c*e^(k*x)

vi ved 

k= 2/5

og løser vi ligningen i forhold til konstanten c og sætter 2 ind  på y' plads fordi der er givet en information der hedder: f'(0)=2 -> y'=2

kommer der således til at stå:

solve(2=(((2)/(5))*c*e^(((2)/(5))*0),c) = 5

sættes det ind i punkt (3) kommer der til at stå

y=k*c*e^(k*x) --> y = 2/5 * 5 * e ^(2/5)*x --> y = 2 * e ^ (2/5)*x

det må vel være den endelige løsning i og med at man jo ikke bare kan skrotte den anden konstant k foran c og så sige der er to løsninger, hvoraf den ene er  y1 = 5* e(2/5)*x og y2 = 2* e(2/5)*x.

det giver god mening dit sidste indlæg, det eneste jeg ikke forstår er hvordan man kan vælge begge to og sige der er to løsninger :s

 Nu indsætter først y1 og y1' i udtrykket 5y' - 2y og beregner

dy/dx = 5y' - 2y = 0

indsætter y1 og y1' i udtrykket

dy/dx = 5 * (5 * (2/5) * e^(2/5)*x) - 2 * (5* e^2/5*x)=0

indsætter y2 og y2' i udtrykket

dy/dx = 5 * (2*2/5*e^2/5*x) - 2 * (2* e^(2/5)*x) = 0

får dem begge til at gi 0 ?? :-s dvs. de begge er løsninger til differentialligningen 5y'-2y=0 :)))) ???????

som også vil sige at 5 * e^(2/5)*x er lige så rigtig som den løsning jeg har valgt: 2*e^(2/5)*x ????

 ARRRHHH NU TROR JEG AT JEG FORSTÅR MIN FEJL!

DEN RIGTIGE LØSNING ER SELVFØLGELIG y = 5 * e^(2/5)*x

for 5 * (2/5) * e^(2/5)*x er selvfølgelig y' til 5 * e^(2/5)*x

Undskyld det er mig der er blank!

 Men jeg bliver nødt til at finde y' først for at kunne finde konstanten 5 ikke sandt?

 får i 8,c tangentligningen = 2x + 5

Rigtigt.

Forstår du nu hvordan du løser 8d  og 8e

Du skal undersøge  om -g(x)  og   g(x) - 4 er løsninger

Det gør du på samme måde.

Det er formålet med de to opgaver at vise dig, hvordan man kan tjekke om en funden løsning er korrekt.

I opgave 8a har vi allerede bestemt løsningen til g(x), så vi ved på forhånd at h(x) og k(x) ikke kan være løsninger,

men du bliver nødt til at skrive det hele op, som for f(x).

 ja tror godt jeg forstår princippet i det nu, men når der står at jeg skal undersøge om funktionen h er bestemt ved funktionen h(x) = - g(x) 

så ved jeg ikke hvad jeg skal sætte ind på h(x)'s plads??

??? = - 3*e^(2/5)*x

samlet set skal jeg få de to funktioner til at give = 0, og hvis de gir 0 fx: 3*e^(2/5)*x = - 3*e^(2/5)*x = 0, så er de bevist. men ved ikke hvad jeg skal skrive på h(x)'s plads. :s

Du skal indsætte y

y = - 3*e^(2/5)*x       beregn y'     og indsæt i  5y´ -2y

Der er en fejl i min forklaring #30, men det vender jeg tilbage til.

I opg 8d. ved man, at funktionen g(x) opfylder differentialligningen  5y' -2y = 0 . Det vides altså, at

5g'(x) -2g(x) = 0 . Derved ses, at 5(-g'(x)) -2(-g(x)) = 0, hvoraf ses, at funktionen h(x) = -g(x) er løsning til differentialligningen.

For funktionen k(x) = g(x) - 4 , hvor g(x) er løsning til differentialligningen, gælder der

k'(x) = g'(x) , så 5k'(x) = 5g'(x) = 2g(x) = 2(k(x) + 4) = 2k(x) + 8 ≠ 2k(x) . Altså er k(x) ikke en løsning til differentialligningen.

8d og 8e kan derfor besvares uden at bruge det eksplicitte udtryk for g(x) .

De to løsninger du har for f(x) er begge løsninger til 5y' - 2y = 0

Alle y af formen y = C*e(2/5)*x er løsninger
 

Men den søgte løsning er den der opfylder kravet y' = 2

Altså y = 5 * e(2/5)*x

Jeg skrev: I opgave 8a har vi allerede bestemt løsningen til g(x), så vi ved på forhånd at h(x) og k(x) ikke kan være løsninger. Det er noget sluder - glem det.

 y' samt y også skildret som værende g'(x) og g(x) sættes ind i differentialligningen og der fås:

y'=5*(1.2*e^{(((2)/(5))*x)}-2*3*e^{(((2*x)/(5)))} ? y'=0.

hvad bruger jeg det til? :) - altså hvad er næste step :)

Bortset fra at det var -g(x)  der skulle indsætte så har vist, at h(x)  = - g(x) er en løsning til 5*y' - 2y

næste step

k(x) = y(x) = g(x) -4        y' = g'(x)           indsættes i 5*y' - 2y

 "Anyone who is smart enough to be interested in the answer to the question is smart enough to figure it out" - Mattuck, 4/7/03

#35

Se #33.

 ja det er også rigtigt - der skulle stå - g(x) og det giver jo et andet resultat:

y'=5*(1.2*e^{(((2)/(5))*x)}-2* (−3*e^{(((2*x)/(5)))} ? y'=12.*e^{(((2*x)/(5)))}

og når jeg så har fundet y'=12.*e^{(((2*x)/(5)))} så sætter jeg det vel lig med - g(x) ?? således at der kommer til at stå:

12.*e^{(((2*x)/(5)))} = - 3*e^{(((2*x)/(5)))} ikke sandt? og så skal jeg løse denne ligning eller?

Du har glemt et minus tegn i starten !

og det er ikke y eller y'

du har indsat i 5y' - 2y

altså   -5*(1.2*e^(2/5)x -  2* (−3*e^(2/5x) ) = ?

 hvorfor skal der minustegn foran 5? der skal vel kun minus foran g(x)?