Isolering af variabel + dobbeltintegraler

Du har ligningen for ellipsen

x²/9 + (y-2)²/4 = 1

Skal du her udtrykke x som funktion af y, eller omvendt?

(y-2)² = 4 - (4/9)x²

|y -2| = 2√(1 - x²/9)

Beregn integralerne indefra og ud.

Det skal både udtrykkes som y som funktion af x, og omvendt.

#2

Så prøv selv at udtrykke x som fkt. af y. Den er simplere.

Jeg har fundet ud af, at jeg ikke skal bruge y som funktion af x alligevel.

Jeg er nået til det punkt hvor jeg skal læse dobbeltintegralet. Filen er vedlagt.

Du er lige vel sparsom med oplysninger om opgaven. Skal du simpelthen beregne integralet af funktionen 1 over en mængde, der er det indre af den øverste halvdel af ellipsen ? altså finde halvdelen af ellipsens  areal- I så fald kan du beregne dobbeltintegralet som enten ∫₀⁴ (∫₂^x(y)dy) dx eller tilsvarende hvis du bytter om på x og y. Du kan iøvrigt gøre det lidt nemmere ved at foretage en parallel forskydning af ellipsen så du slipper af med 2 tallet i den oprindelige ellipses ligning.

Hvis det er det du skal udregne kan integralet klares med håndkraft ved substitution med en trigonometrisk funktion.

#5

Du har ret. Det er volumen af ellipsen jeg er ude efter, hvor højden h skal være en variabel, hvorfor jeg har valgt denne som øvre grænse på y-aksen.

#6

Mener du arealet af ellipsen? Hvorfor beregne det som et dobbeltintegral? Integralet beregner jo allerede et areal under grafen for funktionen y = y(x) .

#7

Det er selve opgaven, der går ud på at anvende dobbeltintegralet. Jeg har opstilt det korrekt, og får det rigtige facit vha. lommeregneren. Vil blot have det løst vha håndkraft også.

Se de 2 sidste linjer i #5

Der er måske ikke mere hjælp at hente? :o)

#9

Jeg har prøvet at regne den ud uden held. Kan du hjælpe mig?

Se her peter lind.

Der er ingen grund til at flytte rundt på de 2*18 = 36. Hold det helt ud foran integraltegnet  Det giver at du får 18*∫₀⁴kvrod(9-9(y-2)²/4dy  = 18∫₀⁴(3/2)kvrod(4 - (y-2)²dy  = 27∫_-2²kvrod(4-u²)du Hvor jeg for for at få det så enkelt som mulig har substitueret u =  y-2 du=dy . Derefter skal du substituere u = 8t/(t²+1), hvilket giver kvrod(4-u²) = 4(t²-1)/(t²+1) og du = 8*(t²-1)/(t²+1)² dt

Det blev en lidt mere kompleks substitution end jeg først havde regnet med.

Jeg har nu ændret min beregning. Har jeg fået det hele med?

Jeg kan dog ikke se, hvorfor du ændrer på grænserne.

For y = 0 er u = -2, for u = 4 er u = 2

Her er en meget nemmere substitution. Fidusen ligger i at foretage substitutionen inden der regnes noget som helst på dobbeltintegralet.

Substitution:  u = x/3 du = dx/3 eller dx= 3du, v = (y-2)/2  dv = dy/2  u²+v² = 1,  Jeg definerer  s ved s² = 1-v². Nu bliver dobbeltintegralet  3*2*∫_-1¹∫₀^s1 dudv = 6 ∫_-1¹ [u]₀^s dv =6 ∫_-1¹ s dv = 6∫_-1¹kvrod(1-v²)dv.

Det sidste integral kan klares med substitutionen v=sin(t), dv = cos(t)dt  -π< t< π. Det kan klares endnu nemmere hvis tilladt ved at konstatere at det sidste integral får man ved beregning af arealet en halvcirkel med radius 1 som er  π/2 så hele integralet bliver 3π

Rettelse til #15 i tredje sidste linje. -π/2 ≤ t ≤ π/2

Undskyld, men jeg er altså ikke med.

Har du mulighed for at vise det i en word fil? Jeg synes det virker uoverskueligt.

Jeg kan ikke se det hjælper meget hvis det er i en word fil eller lignende.  Der vil stå det samme. Prøv at gå langsomt frem.

a) Først substitutionen u = x/3  du = dx/3 <=> dx= 3du

b) substituer v = (y-2)/2 = y/2-1   dv= dy/2  <=> dy = 2dv

c) sæt de nye variable ind i ellipsens ligning.

d) find de tilsvarende grænser for u og v.

e)  foretag den indre integration.

f) foretag substitutionen v = sin(t) med mindre du vil bruge cirkel analogien.

g) foretag dernæst den sidste integration.

Hvis du går i stå på en af ovenstående punkter, kan du vende tilbage med oplysning om hvor det går galt.

#18

Vil det sige, at jeg laver en forkert substitution i den sidste fil jeg har vedhæftet? I så fald, skal jeg begynde med trin a) istedet for substitutionen jeg har lavet?

Nej. Den er rigtig nok. Det er bare meget nemmere at bruge substitutionerne i #15 end dem jeg angav i #13, hvorfor jeg i #18 har anvendt dem. Til gengæld skal du så godt nok starte forfra; men selv om man tager hensyn til det, er det en meget nemmere metode.