Matematik

Lineær algebra

19. april 2005 af Export (Slettet)

Jeg vil gerne have (meget) hjælp følgende opgave, som jeg overhovedet ikke aner hvordan jeg skal løse noget af:

Lad P være en projektionsmatrix for et k-dimensionalt underrum af R^n (R er her de reelle tal, og n er et naturligt tal).

a) Find alle egenværdierne for P.

b) Find den algebraiske og den geometriske multiplicitet for hver af egenværdierne, du fandt i a).

c) Forklar, hvordan vi kan udlede, at P er diagonaliserbar, uden at bruge det faktum, at P er en symmetrisk matrix.

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. april 2005 af riquelme (Slettet)

Frit fra hukommelsen:

a) Hvis der er tale om en projektion er der to egenværdier, 1 og 0; lambda = 1 svarer til vektorerne i underrummet selv, mens lambda = 0 svarer til vektorerne i det ortogonale komplement (visualiser det).

b) Den geometriske multiplicitet af en egenværdi er dimensionen af det tilhørende egenrum; dvs. G(1) = k og G(0) = n-k. Der en sætning der siger, at den algebraiske multiplicitet er større end eller lig med den geometriske multiplicitet: A(1) >= k og A(0) >= n-k. Men da den samlede algebraiske multiplicitet skal være n (P er en n x n-matrix) må A(1) = k og A(0) = n-k.

c) Der er en anden sætning der siger, at en matrix er diagonaliserbar hvis og kun hvis den algebraiske multiplicitet er lig den geometriske multiplicitet. Men det har vi lige vist i b).

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. april 2005 af 404error (Slettet)

Jeg går ud fra, at P antages at være en ortogonal projektion af R^n - ellers er P ej symmetrisk.

a). Hvis P betegner projektionen og v (forskellig fra nulvektoren) er en egenvektor for P, så findes a, så

P(v)=a*v.

Brug nu P endnu en gang på ovenstående, og sig dernæst noget begavet om egenværdierne.

b). Opskriv den karakteristiske ligning for at finde algebraisk multiplicitet (det er let, når du har egenværdierne) og brug for den geometriske multiplicitet dekompositionen af R^n som en direkte sum af to ortogonale underrum, der hver især kan opskrives vha. P samt vektorer i R^n.

c). Hvordan er det nu, det forholder sig med operatorer, hvis egenvektorer udspænder det rum, de er defineret på?

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. april 2005 af riquelme (Slettet)

Undskyld, jeg ødelægger din pædagogiske tilgang; forhåbentlig har jeg lavet en fejl :-)

Svar #4
19. april 2005 af Export (Slettet)

Til #1 og #3.
Jeg værdsætter virkelig din hjælp, riquelme, men tror jeg holder mig til hjælpen fra 404error, da han (som du selv siger) er vældig pædagogisk!

Til #2.
Jeg tror (bemærk, jeg er ikke helt sikker!) nok, at jeg kan finde ud af b), når jeg har a), men jeg er ikke rigtig med på hvordan jeg skal bruge P endnu en gang på P(v)=a*v, og så ved jeg ikke rigtig hvad "noget begavet" er i dette tilfælde. Mht. c), så kigger jeg på det igen, og ser om jeg ikke skulle kunne finde ud af det.

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. april 2005 af 404error (Slettet)

#3: Pædagogikken i det her tilfælde er vist langt hen ad vejen en konsekvens af, at jeg ikke kan huske ret mange sætninger fra lineær algebra ;-)

#4: Brug at P idempotent. Geometrisk set, når du har projiceret en vektor ned i underrummet, og projicerer den endnu engang - hvad sker der så?

Svar #6
19. april 2005 af Export (Slettet)

Okay, at P er idempotent betyder, at P^2 = P, men hvordan hjælper det mig? Jeg ved ikke rigtig hvad der geometrisk set sker, når man projicerer vektoren v endnu en gang.

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. april 2005 af 404error (Slettet)

At projicere vektoren endnu engang svarer til at skrive

P(P(v)) = P(P(a*v)),

da v antages at være en egenvektor. Prøv nu at regne på ovenstående for at finde egenværdierne.

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. april 2005 af riquelme (Slettet)

Ingenting. Hvis du projicerer en vektor som allerede befinder sig i det pågældende underrum får du naturligvis vektoren selv (~egenværdi 1).

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. april 2005 af riquelme (Slettet)

Nu gør jeg det igen. Jeg holder mig væk :)

Svar #10
19. april 2005 af Export (Slettet)

Til #7.
Det er sikkert bare mig, men ifølge #2, er det så ikke

P(P(v)) = P(a*v)

eller er jeg forkert på den? Lige hvordan er det nu jeg regner på ovenstående udtryk?

Brugbart svar (0)

Svar #11
19. april 2005 af 404error (Slettet)

Jo, det skulle være omvendt. Hvis v er en egenvektor, er

P(v)=a*v

og dermed

P(P(v))=P(a*v)=a*P(v)=a^2*v.

Brug nu, at P(P(v))=P(v) (idempotens).

Svar #12
19. april 2005 af Export (Slettet)

Okay, så får jeg, at

a^2*v = a*v => a = 1.

Det her er sikkert et vanvittigt dumt spørgsmål, men hvad er det nu lige a er?

Brugbart svar (0)

Svar #13
19. april 2005 af 404error (Slettet)

Nej, a=1 eller a=0; husk nulreglen! Vi antog, at v er en egenvektor med egenværdi a. Af dine udregninger har du vist, at de eneste mulige egenværdier er 0 eller 1.

Svar #14
19. april 2005 af Export (Slettet)

Ups ... naturligvis!
Jeg prøver lige at regne lidt på b) nu, og så vender jeg nok tilbage med flere dumme spørgsmål i morgen -- håber det er okay.

Svar #15
20. april 2005 af Export (Slettet)

Til spørgsmål b).
Hmm ... jeg ved at den algebraiske multipilcitet for en egenværdi for P er dens multiplicitet som en rod af det karakteristiske polynomium for P, men det kan jeg ikke finde ud af at beregne - har prøvet, men ved ikke rigtig hvordan jeg skal gøre.

Brugbart svar (0)

Svar #16
20. april 2005 af riquelme (Slettet)

Jeg tillader mig at blande mig igen.

Jeg synes du griber opgaven forkert an. Det eneste du får at vide er, at P er en projektionsmatrix så du har ingen chance for at opstille det karakteristiske polynomium. Tænk geometrisk (dvs. find den geometriske multiplicitet og udnyt at den algebraiske multiplicitet altid er større end eller lig med denne).

Svar #17
20. april 2005 af Export (Slettet)

Og hvordan finder jeg så lige en geometriske multiplicitet?

Svar #18
20. april 2005 af Export (Slettet)

en = den, sorry.

Svar #19
20. april 2005 af Export (Slettet)

Gider du evt. at hjælpe mig igen, 404error?

Brugbart svar (0)

Svar #20
20. april 2005 af 404error (Slettet)

Brug definitionen - find dimensionen af nulrummene null(P) og null(I-P). Tænk geometrisk.

Forrige 1 2 Næste

Der er 38 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.