Matematik

Side 2 - Lineær algebra

Svar #21
20. april 2005 af Export (Slettet)

Gider du evt. at vise mig hvordan jeg finder den ene af dem, så vil jeg gerne selv prøve med den anden?

Brugbart svar (0)

Svar #22
20. april 2005 af 404error (Slettet)

Jeg synes, du skal prøve selv. Da P er en ortogonal projektion ned på et underrum, gælder at

P*v = v,

netop hvis v ligger hvor?

Svar #23
20. april 2005 af Export (Slettet)

I underrummet? Arrrh, jeg ved det ikke ... jeg er bare en dum geolog, som er "kommet til" at vælge lineær algebra, fordi jeg fik at vide at det var godt.

Brugbart svar (0)

Svar #24
20. april 2005 af 404error (Slettet)

Det er ingen undskyldning, du skal vel til eksamen i kurset under alle omstændigheder ;-).

Du véd vel hvad en projektion er? Hvis U er et underrum af et indre produktrum V, så kan enhver vektor v i R^n opskrives entydigt som en sum

(*) v = u + w,

hvor u ligger i U, og w ligger i det ortogonale komplement W til U, dvs.

W ={w | w*u = 0 for alle u i U}.

Projektionen ned på U er da operatoren, som virker på en vektor på formen (*) ved

Pv = u.

Hvis nu v allerede ligger i U, hvordan virker P så på U? Hvis v ligger i det ortogonale komplement, hvad sker der så?

Svar #25
20. april 2005 af Export (Slettet)

Hvis v allerede ligger i U, kan det så passe at projektionen (dvs. Pv) er nul, idet v som sagt allerede ligger i U i forvejen?

Brugbart svar (0)

Svar #26
20. april 2005 af 404error (Slettet)

Nej, se på hvordan P er defineret i #24. Hvis v ligger i U og der findes netop én måde at skrive

v = u + w,

med u i U og w i W, så kan vi skrive

v = v + 0.

Altså må P*v = v, af definitionen på P. Prøv nu at gøre tilsvarende nummer for v liggende i W. Endvidere, hvad har dette med egenværdier og geometrisk multiplicitet af disse at gøre?

Svar #27
20. april 2005 af Export (Slettet)

Hvis v ligger i W, gælder der så at

v = 0 + v

som giver, at

P*v = 0

eller hvad?

Hvad det har med egenværdier og geometrisk multiplicite at gøre, kan jeg ikke lige umiddelbart se.

Brugbart svar (0)

Svar #28
20. april 2005 af 404error (Slettet)

Korrekt. Altså er enhver vektor i U en egenvektor for P med egenværdi 1. Hvad er så den geometriske multiplicitet af egenværdien 1? Tilsvarende ræssoneres for den anden egenværdi.

Svar #29
20. april 2005 af Export (Slettet)

Er den geometriske multiplicitet af egenværdien 1 så lig med k, eftersom P er projektionsmatrix for et k-dimensionalt underrum af R^n?

Brugbart svar (0)

Svar #30
20. april 2005 af 404error (Slettet)

Jeps.

Svar #31
20. april 2005 af Export (Slettet)

Jamen dog, der kan man bare se!

Hmm ... af #28 kan jeg forstå, at jeg finder den geometriske multiplicitet af egenværdien 0 på samme måde, men ved ikke helt hvad jeg skal ændre i forhold til det vi (du) har gjort i de ovenstående indlæg.

Brugbart svar (0)

Svar #32
20. april 2005 af 404error (Slettet)

Hvis v ligger i W, kan v opskrives entydigt som

v = 0 + v.

Hvad er så P*v og den geometriske muliplicitet af egenværdien 0?

Svar #33
20. april 2005 af Export (Slettet)

Så er

P*v = 0

(skulle jeg i hvert fald mene), og er den geometriske multiplicitet af egenværdien 0 så også k, med helt samme argument som for egenværdien 1?

Brugbart svar (0)

Svar #34
20. april 2005 af 404error (Slettet)

Nej, for hvad er dimensionen af W, hvis du véd, at R^n er den direkte sum af U og W (hvor U har dimension k)?

Svar #35
20. april 2005 af Export (Slettet)

Åhhh ... så er

dim(W) = n-k

ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #36
21. april 2005 af 404error (Slettet)

Netop.

Svar #37
21. april 2005 af Export (Slettet)

Okay, det var da godt!

Svar #38
21. april 2005 af Export (Slettet)

Nu tror jeg nok, at jeg kan finde ud af resten, så du skal i hvert fald have mange tak for den store hjælp!

Forrige 1 2 Næste

Skriv et svar til: Lineær algebra

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.